모래시계 현상은 기본적으로 시뮬레이션을 망가뜨리는 요소 내부의 이상한 내부 움직임입니다. 유한요소해석 (FEA)는 복잡한 물리 현상을 시뮬레이션하는 강력한 도구입니다. Abaqus는 다양한 요소를 활용하여 모델의 형상을 표현합니다. 그러나 Abaqus 시뮬레이션에서 흔히 발생하는 문제 중 하나는 "모래시계 현상"(Hourglass Abaqus)입니다. 이 현상은 해석의 정확도와 안정성에 상당한 영향을 미쳐 신뢰할 수 없는 결과를 초래할 수 있습니다.
모래시계 모드는 시뮬레이션 중 일부 유한 요소에서 발생하는 현상으로, 요소의 변형이 '모래시계' 모양을 나타냅니다. 이러한 변형 모드는 시스템에 인위적인 에너지를 도입하기 때문에 비현실적이고 불안정한 결과를 초래할 수 있습니다. 최악의 경우, 모래시계 모드는 시뮬레이션 실패를 초래할 수 있습니다.
모래시계 효과는 Abaqus 시뮬레이션에서 까다로운 장애물이 될 수 있습니다. 하지만 그 원인을 이해하고 적절한 기법을 적용하면 효과적으로 완화하고 정확하고 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 있습니다.
이 글에서는 이 현상과 그 기원에 대해 알아보겠습니다. 또한 시뮬레이션에서 모래시계 현상을 방지하는 제어 방법도 살펴보겠습니다. 시작해 볼까요?.
1. 모래시계 아바쿠스: 정의와 결과
모래시계 효과는 유한요소해석(FEA)에서 흔히 발생하는 현상으로, Abaqus 시뮬레이션을 방해하여 부정확한 결과와 계산 리소스 낭비를 초래할 수 있습니다. 모래시계 현상은 요소가 모래시계 모양처럼 비물리적인 방식으로 왜곡되는 현상을 말합니다.
완벽한 정사각형 메시 요소에 힘을 가한다고 상상해 보세요. 이상적인 상황에서는 요소가 정사각형 모양을 유지하면서 균일하게 변형됩니다. 그러나 특정 방향으로 강성이 부족한 요소는 허리가 좁은 모래시계처럼 모래시계 모양으로 변형될 수 있습니다(그림 1). 이 '모래시계 모양' 모드는 제로 에너지 변형 모드로, 변형 에너지의 변화 없이 요소가 변형됩니다.
그림 1: "모래시계 현상"에서 요소가 모래시계 모양으로 왜곡됨
1.1. 모래시계의 결과
모래시계 생활은 여러 가지 부정적인 결과를 초래할 수 있습니다.
- 부정확한 응력 및 변형 결과
왜곡된 요소는 비현실적인 응력과 변형을 겪게 되어 재료 거동에 대한 부정확한 예측이 이루어집니다.
- 불안정한 시뮬레이션
모래시계 모드는 해석을 불안정하게 만들어 시뮬레이션의 발산이나 종료로 이어질 수 있습니다. 이러한 제로 에너지 모드는 진동과 불안정성을 유발하여 해석 결과를 수렴하지 못하게 만들 수 있습니다.
- 불규칙한 결과
모래시계 현상은 시뮬레이션 결과에 노이즈와 불규칙한 거동을 유발할 수 있습니다. Abaqus는 이러한 비현실적인 변형을 해결하는 데 시간과 노력을 소모하여 해석 속도를 저하시킵니다.
이제 질문은 "모래시계 효과의 원인은 무엇인가?"입니다.
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1.2. 모래시계 효과의 원인
모래시계 현상은 다음과 같은 이유로 발생할 수 있습니다.
- 하위 요소
통합 지점이 적은 선형 요소(감소된 통합)는 왜곡에 저항할 수 있는 강성이 부족하기 때문에 모래시계 현상이 발생하기 쉽습니다.
- 제약 조건이 부족합니다
모델에 충분한 경계 조건이나 제약 조건이 없으면 요소가 비현실적인 방식으로 쉽게 변형될 수 있습니다.
- 큰 요소 왜곡
요소가 상당한 변형을 겪으면 전단 응력에 저항하는 능력을 잃어 모래시계 현상이 발생할 수 있습니다.
'축소 통합'으로 언급된 첫 번째 항은 모래시계 모형을 도입하는 데 매우 중요합니다. 축소 통합이 무엇을 의미하는지 살펴보겠습니다.
2. 유한 요소법의 적분
유한요소법(FEM)에서는 관심 영역을 유한 요소 집합으로 이산화하고, 각 요소 내에서 미지 함수를 보간 함수를 사용하여 근사합니다. 이산 대수 방정식 체계가 얻어지면, 내력, 변위, 온도, 속도와 같은 다양한 관심 대상을 계산하기 위해 이러한 방정식들을 적분해야 합니다.
모델의 복잡성으로 인해 FEM에서의 적분은 거의 수치적으로 수행됩니다. 수치 적분은 일반적으로 가우스 적분법(Gaussian Quadrature Rules)을 사용하여 수행되는데, 이는 가우스 적분점과 가중치를 기반으로 합니다. 가우스 적분점과 가중치의 개수는 요소의 차원과 원하는 정확도에 따라 달라집니다.
예를 들어, 선형 보간 함수를 사용하는 1차원 요소에는 두 개의 가우시안 점이 필요합니다. 일반적으로 가우시안 점과 가중치의 개수를 늘리면 적분의 정확도는 향상되지만, 계산량이 증가합니다.
FEM에서는 요소에 대해 고려되는 통합 지점의 수에 따라 두 가지 유형의 통합이 있습니다.
- 전체 통합
- 통합 감소
이 두 가지 다른 종류의 통합이 무엇인지 살펴보겠습니다.
2.1. 완전한 통합
"완전 적분"이라는 표현은 요소가 규칙적인 모양을 가질 때 요소의 강성 행렬에서 다항식 항을 정확히 적분하는 데 필요한 가우스 점의 개수를 나타냅니다. 육면체 및 사각형 요소의 경우, "규칙적인 모양"이란 모서리가 직선이고 직각으로 만나며 모든 모서리 노드가 모서리의 중간에 위치함을 의미합니다.
완전히 통합된 선형 요소는 각 방향으로 두 개의 통합점을 사용합니다. 따라서 3차원 요소 C3D8은 2개의 통합점을 사용합니다. × 2 × 요소에는 적분점 배열이 2개 있습니다. 완전히 적분된 이차 요소는 각 방향으로 세 개의 적분점을 사용합니다. 완전히 적분된 2차원 사변형 요소에서 적분점의 위치는 그림 2에 나와 있습니다.
그림 2: 완전히 통합된 2차원 사각형 요소의 통합 지점
요소 차수와 적분 유형이 FEM 결과에 미치는 영향을 조사하기 위해 여기서는 예를 들어 설명하겠습니다. 이는 주어진 유한 요소의 거동을 평가하는 데 사용되는 고전적인 테스트입니다. 그림 3과 같은 보를 생각해 보겠습니다.
그림 3: 자유단에 점하중 P가 작용하는 지지보
빔은 길이 150mm, 너비 2.5mm, 깊이 5mm이며, 한쪽 끝은 매립형이고, 자유단에는 5N의 팁 하중이 가해집니다. 이 재료의 영률은 다음과 같습니다., 이자형, 70 GPa 및 0.0의 포아송 비. 빔 이론을 사용하여 
팁 처짐은 3.09mm입니다.
그림 4에서 보듯이, 캔틸레버 보 문제에 대한 Abaqus 시뮬레이션에는 여러 가지 다른 메시가 사용되었습니다. 시뮬레이션에서는 선형 또는 2차의 완전 통합 요소를 사용하며, 요소의 순서(1차 대 2차)와 메시 밀도가 결과의 정확도에 미치는 영향을 보여줍니다.
그림 4: 캔틸레버 빔 시뮬레이션에 사용된 메시
다양한 시뮬레이션에 따른 팁 변위의 비율을 빔 이론 값인 3.09mm에 대해 표 1에 나타내었습니다.
표 1: 통합 요소를 사용한 정규화된 빔 처짐
선형 요소 CPS4와 C3D8은 처짐을 너무 낮게 예측하여 결과를 사용할 수 없습니다. 거친 메시에서는 결과의 정확도가 가장 낮지만, 미세 메시(8)에서도 정확도가 떨어집니다. × 24)는 여전히 이론값의 56%에 불과한 팁 변위를 예측합니다. 선형이고 완전히 통합된 요소의 경우, 빔 두께를 통과하는 요소의 개수는 아무런 차이가 없습니다. 이는 다음과 같은 원인 때문입니다. 전단 잠금, 이는 모든 완전히 통합된 1차 고체 원소에 나타나는 문제입니다.
2.1.1. Abaqus의 전단 잠금
앞서 살펴본 바와 같이, 전단 잠금은 부재가 굽힘 시 너무 단단해지는 원인이 됩니다. 이에 대한 설명은 다음과 같습니다.
순수 굽힘을 받는 구조물에서 작은 재료를 생각해 보겠습니다. 그림 5와 같이 재료가 변형됩니다. 수평축에 평행한 선은 일정한 곡률을 가지며, 두께 방향으로는 직선을 유지합니다. 수평선과 수직선 사이의 각도는 90°로 유지됩니다.
그림 5: 굽힘 모멘트 M을 받는 재료의 변형
선형 요소의 모서리는 휘어질 수 없습니다. 따라서 작은 재료 조각을 단일 요소를 사용하여 모델링하면 변형된 모양은 그림 6에 표시된 것과 같습니다.
그림 6: 굽힘 모멘트 M을 받는 완전히 통합된 선형 요소의 변형
시각화를 위해 적분점을 통과하는 점선을 그렸습니다. 위쪽 선의 길이가 증가한 것을 알 수 있는데, 이는 1방향의 직접 응력이, 
, 인장력이 있습니다. 마찬가지로 아래 점선의 길이가 감소하여 다음을 나타냅니다. 압축적입니다. 수직 점선의 길이는 변하지 않았습니다(변위가 작다고 가정). 따라서, 
모든 적분점에서 응력은 0입니다. 이 모든 것은 순수 굽힘을 받는 작은 재료의 예상 응력 상태와 일치합니다.
그러나 각 적분점에서 수직선과 수평선 사이의 각도는 원래 90°였지만, 이제는 변했습니다. 이는 전단 응력이, 
, 이 지점에서는 0이 아닙니다. 이는 잘못된 설명입니다. 순수한 굽힘 하에서 재료의 전단 응력은 0입니다.
이러한 허위 전단 응력은 요소의 모서리가 휘어질 수 없기 때문에 발생합니다. 허위 전단 응력이 존재한다는 것은 변형 에너지가 의도된 굽힘 변형이 아닌 전단 변형을 생성하고 있음을 의미하며, 따라서 전체 처짐은 감소합니다. 즉, 요소가 너무 단단하다는 것입니다.
전단 잠금은 굽힘 하중을 받는 완전히 통합된 선형 요소의 성능에만 영향을 미칩니다. 이러한 요소들은 직접 하중이나 전단 하중 하에서 완벽하게 작동합니다. 2차 요소의 경우, 그림 7과 같이 모서리가 휘어질 수 있으므로 전단 잠금 현상이 발생하지 않습니다.
표 1에 제시된 2차 요소의 예측 팁 변위는 이론값에 가깝습니다. 그러나 2차 요소는 변형되거나 굽힘 응력에 기울기가 있는 경우 약간의 잠금 현상이 발생할 수 있으며, 이는 실제 문제에서 발생할 수 있습니다.
그림 7: 굽힘 모멘트 M을 받는 완전히 통합된 2차 요소의 변형
완전히 통합된 선형 요소는 하중이 모델에 최소한의 굽힘을 발생시킬 것이라고 확신할 때만 사용해야 합니다. 하중이 어떤 유형의 변형을 발생시킬지 확실하지 않은 경우 다른 유형의 요소를 사용하십시오.
완전히 적분된 2차 요소는 복잡한 응력 상태에서도 고정될 수 있습니다. 따라서 모델에 2차 요소만 사용하는 경우 결과를 신중하게 확인해야 합니다. 하지만 국소 응력 집중이 있는 영역을 모델링하는 데 매우 유용합니다.
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2.2. 축소된 통합
오직 사각형과 육면체 요소만 축소 적분 방식을 사용할 수 있습니다. 모든 쐐기형, 사면체, 삼각형 입체 요소는 완전 적분을 사용하지만, 동일한 메시에서 축소 적분 육면체 또는 사각형 요소와 함께 사용될 수 있습니다.
감소된 적분 요소는 완전 적분 요소보다 각 방향으로 적분점을 하나 더 적게 사용합니다. 감소된 적분 선형 요소는 요소의 중심에 위치한 적분점이 단 하나뿐입니다. (실제로 Abaqus의 이러한 1차 요소는 더 정확한 "균일 변형률" 공식을 사용하며, 여기서는 요소에 대한 변형률 성분의 평균값이 계산됩니다. 참고용으로만 사용하세요!) 감소된 적분 사변형 요소의 적분점 위치는 그림 8에 나와 있습니다.
그림 8: 감소된 통합을 사용한 2차원 요소의 통합 지점
캔틸레버 보 문제에 대한 Abaqus 시뮬레이션은 이전에 사용된 동일한 4개 요소의 축소 적분 버전과 그림 4에 표시된 4개 유한 요소 메시를 사용하여 수행되었습니다. 이러한 시뮬레이션의 결과는 표 2에 제시되어 있습니다.
표 2: 감소된 통합 요소를 사용한 정규화된 빔 처짐
선형 축소 적분 요소는 이 기사의 앞부분에서 논의한 대로 자체 수치적 문제로 인해 너무 유연한 경향이 있습니다. 모래시계.
2.2.1. Abaqus의 모래시계
다시 한번, 그림 9에 표시된 것처럼 순수하게 굽힘을 받는 작은 재료 조각을 모델링하는 단일 감소 통합 요소를 고려해 보겠습니다.
그림 9: 굽힘 모멘트 M을 받는 감소된 적분을 갖는 선형 요소의 변형
두 점선 시각화 선의 길이는 변하지 않았고, 두 선 사이의 각도도 변하지 않았습니다. 즉, 요소의 단일 통합 지점에서 응력의 모든 성분이 0입니다.
따라서 이러한 굽힘 변형 모드는 요소의 변형으로 인해 변형 에너지가 생성되지 않으므로 제로 에너지 모드입니다. 이 모드에서는 강성이 없기 때문에 요소는 이러한 유형의 변형에 저항할 수 없습니다. 성긴 메시에서는 이러한 제로 에너지 모드가 메시 전체로 전파되어 무의미한 결과를 초래할 수 있습니다.
Abaqus에서는 모래시계 모드의 전파를 제한하기 위해 감소된 적분 요소에 소량의 인공적인 "모래시계 강성"을 도입합니다. 이 강성은 모델에 더 많은 요소가 사용될 때 모래시계 모드를 제한하는 데 더 효과적입니다. 즉, 적당히 미세한 메시를 사용하는 한 선형 감소된 적분 요소로도 만족스러운 결과를 얻을 수 있습니다.
선형, 축소 통합 요소의 더 미세한 메시에서 발견되는 오류(표 2)는 많은 응용 분야에서 허용 가능한 범위 내에 있습니다. 결과는 이 유형의 요소로 굽힘 하중을 전달하는 모든 구조를 모델링할 때 두께를 통해 최소 4개의 요소를 사용해야 함을 시사합니다.. 단일 선형, 감소된 적분 요소를 보 두께에 걸쳐 사용하는 경우, 모든 적분점은 중립축에 위치하며 모델은 굽힘 하중을 견딜 수 없습니다. (이러한 경우는 표 2에서 *로 표시되어 있습니다.).
선형적이고 감소된 통합 요소는 왜곡에 대한 내성이 매우 강합니다. 따라서 왜곡 수준이 매우 높을 수 있는 시뮬레이션에서는 이러한 요소의 미세한 메시를 사용합니다.
2차, 축소 적분 요소도 모래시계 모드를 갖습니다. 그러나 이러한 모드는 일반 메시에서는 전파가 거의 불가능하며, 메시가 충분히 미세하면 문제가 거의 발생하지 않습니다.
1 × C3D20R 요소의 6개 메시는 두 개의 요소가 너비를 통해 사용되지 않는 한 모래시계 현상으로 인해 수렴에 실패하지만, 더 세분화된 메시는 하나의 요소만 너비를 통해 사용하더라도 수렴에 실패하지 않습니다.
2차 축소 적분 요소는 복잡한 응력 상태에 노출되더라도 잠금 현상이 발생하지 않습니다. 따라서 이러한 요소는 매우 큰 변형률을 수반하는 대변위 시뮬레이션과 일부 유형의 접촉 해석을 제외하고는 대부분의 일반적인 응력/변위 시뮬레이션에 가장 적합합니다.
이제 Abaqus 요소 유형이나 Abaqus 요소에 대해 자세히 알고 싶다면 이 기사를 읽어보세요.
또는 특정 유형의 요소에 대해 알고 싶다면 다음을 읽어보세요.
3. 모래시계를 어떻게 조종하나요?
Abaqus는 아워글래싱을 해결하기 위한 여러 가지 메커니즘을 제공합니다.
- 요소 유형 선택
2차 또는 3차 요소와 같은 고차 요소를 사용하면 강성이 높아지고 모래시계 현상의 가능성이 줄어듭니다.
- 모래시계 제어
Abaqus는 인공 강성 및 점성 감쇠와 같은 다양한 모래시계 제어 기법을 제공합니다. 이러한 기법은 요소에 인공 강성을 부여하여 비현실적인 왜곡을 방지합니다.
- 메시 세분화
더 미세한 것을 사용하여 Abaqus 메시 요소 왜곡을 줄이고 모래시계 현상을 완화할 수 있습니다. 그러나 이로 인해 계산 비용이 크게 증가할 수 있습니다.
그림 10: Abaqus 모래시계 제어 옵션
이제 이 글에서 배운 내용을 요약해 보겠습니다.
4. 요약
Abaqus의 모래시계 정의에 대한 논의를 시작으로, 이 정의가 분석에 어떤 문제를 야기하는지에 대해 논의했습니다. 이 문제를 더 잘 이해하기 위해 완전 적분과 축소 적분을 포함한 다양한 적분 유형을 살펴보았습니다.
간단한 예를 통해 이러한 적분 유형을 시연했으며, 이 예제에서는 요소의 차수와 적분 유형이 FEM 결과에 미치는 영향을 조사했습니다. 이 논의에서는 전단 잠금(Shear Locking)과 모래시계 현상(Hourglassing)을 포함한 두 가지 현상이 언급되었습니다.
이러한 현상이 발생할 수 있는 문제와 각 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 방법을 소개합니다.
하지만 더 많은 정보는 항상 다음에서 찾을 수 있다는 점을 기억하세요. Abaqus 문서.
마지막으로, 이 글을 읽어주셔서 감사합니다. 콘텐츠 품질을 개선할 수 있도록 이 글에 대한 의견을 남겨주시는 것을 잊지 마세요. 좋은 글 많이 쓰시길 바랍니다.
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