沙漏现象本质上是元素内部的一种奇怪的运动，它会扰乱你的模拟。. 有限元分析 有限元分析 (FEA) 是一种强大的工具，可用于模拟复杂的物理现象。Abaqus 利用多种单元来表示模型的几何形状。然而，Abaqus 模拟中常见的挑战之一是“沙漏效应”（Abaqus 沙漏）。这种现象会显著影响分析的精度和稳定性，导致结果不可靠。.
沙漏模式是某些有限元在模拟过程中出现的一种现象，其变形呈现出‘沙漏’形状。这种变形模式会给系统引入人为能量，从而导致不切实际且不稳定的结果。在最坏的情况下，沙漏模式甚至会导致模拟失败。.
沙漏效应是 Abaqus 仿真中一个棘手的难题。然而，通过了解其成因并采用适当的技术，可以有效缓解该效应，从而确保结果的准确性和可靠性。.
本文将探讨这种现象及其成因，并介绍在模拟中防止沙漏效应的控制方法。让我们开始吧。.
1. 沙漏 Abaqus：定义和后果
沙漏效应是有限元分析 (FEA) 中一种令人头疼的现象，它会严重影响 Abaqus 仿真，导致结果不准确和计算资源浪费。沙漏效应是指单元发生非物理变形，形状类似沙漏。.
想象一个完美的正方形网格单元，受到外力作用。理想情况下，该单元均匀变形，保持其正方形形状。然而，当单元在某些方向上刚度不足时，它们会变形为沙漏状，形似腰部较细的沙漏（图 1）。这种‘沙漏形’变形模式是一种零能量变形模式，意味着单元变形时应变能没有变化。.
图1：在“沙漏效应”中，元素扭曲成沙漏形状
1.1. 沙漏效应的后果
沙漏效应可能会带来以下几个负面后果：
- 应力应变结果不准确
变形的元件会承受不切实际的应力和应变，从而导致对材料行为的预测不准确。.
- 不稳定的模拟
沙漏效应会破坏分析的稳定性，导致模拟发散或终止。这些零能量模式会引起振荡和不稳定性，使解无法收敛。.
- 结果不稳定
沙漏形变的存在会给仿真结果引入噪声和异常行为。Abaqus 需要花费时间和精力来求解这些不真实的形变，从而降低分析速度。.
现在的问题是“沙漏效应的成因是什么？”.
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1.2 沙漏效应的成因
沙漏状外观的出现可能是由于：
- 低阶元素
积分点较少的线性单元（缩减积分）容易出现沙漏效应，因为它们缺乏抵抗变形的刚度。.
- 约束不足
如果模型缺乏足够的边界条件或约束，单元很容易以不切实际的方式变形。.
- 大元素畸变
当物体发生显著变形时，它们会失去抵抗剪切应力的能力，从而导致沙漏状变形。.
文中提到的第一个术语‘简化积分’对于将沙漏概念引入模型至关重要。我们来看看简化积分是什么意思？
2. 有限元方法中的积分
在有限元法中，待研究区域被离散化为一组有限元，未知函数在每个单元内通过插值函数进行近似。一旦获得离散代数方程组，就需要对这些方程进行积分，以计算各种感兴趣的物理量，例如内力、位移、温度或速度。.
由于模型本身的复杂性，有限元法中的积分几乎都是通过数值方法实现的。数值积分通常采用高斯求积法，该方法基于高斯权重和高斯点。高斯点和权重的数量取决于单元的维度和所需的精度。.
例如，对于具有线性插值函数的一维元素，需要两个高斯点。通常，增加高斯点的数量和权重可以提高积分精度，但会增加计算量。.
根据单元内积分点的数量，有限元方法中有两种积分方式：
- 完全整合
- 降低集成度
让我们来看看这两种不同的整合方式是什么。.
2.1. 完全集成
“完全积分”是指当单元具有规则形状时，对单元刚度矩阵中的多项式项进行精确积分所需的 Gauss 点数。对于六面体和四边形单元，“规则形状”意味着其边缘是直线且相互垂直，并且所有边缘节点都位于边缘的中点。.
完全积分的线性单元在每个方向上使用两个积分点。因此，三维单元 C3D8 使用 2 个积分点。 × 2 × 单元内包含 2 个积分点阵列。完全积分的二次单元在每个方向上使用三个积分点。图 2 显示了完全积分的二维四边形单元中积分点的位置。.
图 2：完全积分的二维四边形单元中的积分点
为了研究单元阶数和积分类型对有限元结果的影响，这里将举例说明。这是一个用于评估给定有限元性能的经典测试。考虑如图 3 所示的梁。.
图 3：悬臂梁在其自由端承受集中载荷 P 的作用下
该梁长 150 毫米，宽 2.5 毫米，深 5 毫米；一端固定；自由端承受 5 牛顿的端部载荷。材料的杨氏模量为：, E, ，压力为 70 GPa，泊松比为 0.0。利用梁理论，对于 
尖端偏转量为 3.09 毫米。.
如图 4 所示，在 Abaqus 模拟悬臂梁问题时使用了几种不同的网格。模拟采用线性或二次全积分单元，并说明了单元阶数（一阶与二阶）和网格密度对结果精度的影响。.
图 4：用于悬臂梁模拟的网格
表 1 显示了各种模拟的尖端位移与梁理论值 3.09 毫米的比率。.
表 1：带集成单元的归一化梁挠度
线性单元 CPS4 和 C3D8 对挠度的预测严重偏小，导致结果无法使用。粗网格下结果精度最低，但即使是精细网格（8）也存在问题。 × 24) 预测的尖端位移仅为理论值的 56%。请注意，对于线性、完全积分的单元，梁厚度方向上的单元数量无关紧要。这是由以下原因造成的： 剪切锁定, 这是所有完全积分的一阶实体单元都存在的问题。.
2.1.1.剪切锁定Abaqus
正如我们所见，剪切锁定会导致元件在弯曲时刚度过大。其原因解释如下。.
考虑结构中一小块材料，该结构仅受纯弯曲作用。如图 5 所示，该材料会发生形变。最初平行于水平轴的线段会呈现恒定的曲率，而穿过厚度方向的线段则保持直线。水平线和垂直线之间的夹角始终为 90°。.
图 5：材料在弯矩 M 作用下的变形
线性单元的边缘不能弯曲；因此，如果用单个单元对一小块材料进行建模，其变形形状如图 6 所示。.
图 6：受弯矩 M 作用的完全集成线性元件的变形
为了便于观察，图中绘制了穿过积分点的虚线。显然，上方的虚线长度有所增加，表明1方向上的直接应力增大。, 
, 是拉伸的。同样，下方虚线的长度也减小了，表明 是压缩的。垂直虚线的长度没有改变（假设位移很小）；因此，, 
所有积分点处的应力均为零。所有这些都与受纯弯曲作用的一小块材料的预期应力状态相符。.
然而，在每个积分点，垂直线和水平线之间的角度（最初为 90°）都发生了变化。这表明剪切应力，, 
, 在这些点上，值不为零。这是不正确的： 材料在纯弯曲作用下的剪切应力为零。.
这种虚假剪应力的产生是因为单元边缘无法弯曲。它的存在意味着应变能导致剪切变形而非预期的弯曲变形，因此整体挠度较小：单元刚度过大。.
剪切锁定仅影响完全集成、线性元件在弯曲载荷作用下的性能。. 这些单元在直接载荷或剪切载荷下都能正常工作。由于二次单元的边缘可以像图 7 所示那样弯曲，因此剪切锁定对二次单元来说不是问题。.
表1所示的二次单元的预测尖端位移与理论值接近。然而，如果二次单元发生变形或弯曲应力存在梯度，则也会出现一定的锁定现象，这两种情况在实际问题中都可能发生。.
图 7：受弯矩 M 作用的完全积分二次单元的变形
只有当您相当确定载荷会在模型中产生极小的弯曲时，才应使用完全积分的线性单元。如果您对载荷将产生的变形类型有任何疑问，请使用其他单元类型。.
完全积分的二次单元在复杂的应力状态下也可能出现锁定现象；因此，如果模型中完全使用二次单元，则应仔细检查结果。但是，二次单元对于模拟局部应力集中区域非常有用。.
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2.2. 降低集成度
只有四边形和六面体单元可以使用缩减积分方案；所有楔形、四面体和三角形实体单元都使用完全积分，尽管它们可以与缩减积分的六面体或四边形单元在同一网格中使用。.
缩减积分单元在每个方向上比全积分单元少一个积分点。缩减积分线性单元只有一个积分点，位于单元的形心处（实际上，Abaqus 中的这些一阶单元使用更精确的“均匀应变”公式，其中计算单元应变分量的平均值；仅供参考！）。缩减积分四边形单元的积分点位置如图 8 所示。.
图 8：二维单元中积分点（积分范围缩小）
使用图 4 所示的四个有限元网格，并采用之前使用的四个单元的缩减积分版本，对悬臂梁问题进行了 Abaqus 模拟。这些模拟的结果如表 2 所示。.
表 2：采用缩减积分单元的归一化梁挠度
线性缩减积分单元往往过于灵活，因为它们自身存在数值问题，这在本文前面已经讨论过： 沙漏.
2.2.1. 沙漏形 Abaqus
再次考虑一个单缩减积分单元，该单元模拟一小块材料在纯弯曲作用下的状态，如图 9 所示。.
图 9：受弯矩 M 作用的缩减积分线性单元的变形
两条虚线的长度都没有改变，它们之间的角度也没有改变，这意味着单元单个积分点处的所有应力分量均为零。.
这种弯曲变形模式属于零能量模式，因为这种单元畸变不会产生应变能。由于单元在这种模式下没有刚度，因此无法抵抗这种变形。在粗网格中，这种零能量模式会在整个网格中传播，导致计算结果无意义。.
在Abaqus中，为了限制沙漏模态的传播，会在缩减积分单元中引入少量的“沙漏刚度”。当模型中使用更多单元时，这种刚度对限制沙漏模态的效果更佳，这意味着只要使用足够精细的网格，线性缩减积分单元就能给出可接受的结果。.
对于许多应用而言，使用更精细的线性缩减积分单元网格所观察到的误差（表 2）在可接受的范围内。. 结果表明，在使用此类单元模拟承受弯曲载荷的任何结构时，至少应在厚度方向上使用四个单元。. 当在梁的厚度方向上使用单个线性缩减积分单元时，所有积分点都位于中性轴上，模型无法抵抗弯曲载荷。（这些情况在表 2 中用 (*) 标记）。.
线性缩减积分单元对畸变的容忍度很高；因此，在任何畸变程度可能很高的模拟中，都应使用这些单元的精细网格。.
二次缩减积分单元也具有沙漏模。然而，这些模几乎不可能在普通网格中传播，如果网格足够精细，则很少会造成问题。.
1 × 除非在宽度方向上使用两个单元，否则由 C3D20R 单元组成的 6 个网格会因沙漏效应而无法收敛，但更精细的网格即使在宽度方向上只使用一个单元也不会失败。.
二次缩减积分单元即使在复杂的应力状态下也不易发生锁定。因此，除涉及极大应变的大位移模拟和某些类型的接触分析外，这些单元通常是大多数一般应力/位移模拟的最佳选择。.
如果您想了解更多关于 Abaqus 单元类型或 Abaqus 单元的信息，请阅读这篇文章：
或者想了解特定类型的元素，请阅读以下内容：
3. 如何控制沙漏？
Abaqus提供了多种机制来解决沙漏效应：
- 元素类型选择
使用更高阶的单元，例如二次单元或三次单元，可以提供更大的刚度，并降低出现沙漏效应的可能性。.
- 沙漏形控制
Abaqus 提供多种沙漏控制技术，例如人工刚度和粘性阻尼。这些方法为单元引入人工刚度，从而防止出现不切实际的变形。.
- 网格细化
使用更精细的 Abaqus网格 可以减少元素畸变并缓解沙漏效应。然而，这会显著增加计算成本。.
图 10：Abaqus 沙漏控制选项
现在是时候总结一下我们在本文中学到的内容了。.
4. 概括
我们首先讨论了Abaqus的沙漏定义，并探讨了它会给我们的分析带来哪些问题。为了更深入地了解这个问题，我们详细分析了不同的积分类型，包括：完全积分和缩减积分。.
我们通过一个简单的例子演示了这些积分类型，并在此例中研究了单元阶数和积分类型对有限元结果的影响。讨论过程中提到了两种现象：剪切锁定和沙漏效应。.
本文介绍了您可能遇到这些现象的问题，以及解决每个问题的可用方法。.
但请记住，您总可以在以下位置找到更多信息： Abaqus 文档.
最后，感谢您阅读本文。请不要忘记留下您的评论，以帮助我们改进内容质量。祝您一切顺利。.
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