관성 모멘트 대 면적 모멘트 - 간단한 가이드 하나로 필요한 모든 것

피겨 스케이터가 팔을 몸에 바짝 붙이고 더 빨리 도는 것을 본 적이 있나요? 대부분의 사람들은 이렇게 말할 겁니다., “"와! 정말 대단해! 정말 아름다워!"”
하지만 우리 엔지니어들은 생각합니다., “"그녀가 왜 더 빨리 회전하는 거지?"”
답변: 관성 모멘트. We refer it in this blog as “MoI”.

이제 차량으로 가득 찬 교통 체증 아래 놓인 다리를 상상해 보세요. 대부분의 사람들은 화가 나서 경적을 울리고 소리를 지르고 있습니다.
하지만 다시 한번, 우리 엔지니어들은 묻습니다., “"다리가 어떻게 아직 서있을 수 있죠?"”
답변: 면적의 순간. We refer it in this blog as “MoA”.

관성 모멘트는 물체가 회전 운동에 얼마나 저항하는지를 결정하는 반면, 단면 모멘트는 구조물이 굽힘력에 얼마나 잘 견디는지 정의합니다. 엔지니어들은 이러한 원리를 활용하여 엔진의 회전축부터 고층 빌딩의 하중 지지 보에 이르기까지 안전하고 신뢰할 수 있는 시스템을 설계합니다.

이 글에서는 이러한 개념, 수학적 기초, 그리고 엔지니어링에서의 실제 적용에 대해 설명합니다. 또한, 엔지니어가 관성 계산을 새로운 회전축까지 확장할 수 있도록 하는 평행축 정리에 대해서도 알아보고, 중공축이 효율성과 강도 측면에서 널리 사용되는 이유도 살펴보겠습니다.

POPSUGAR에서 제공하는 GIF로 1994년 동계 올림픽에서 낸시 케리건이 등장합니다.
이 GIF는 회전 운동의 물리학을 설명하기 위해 교육 목적으로 공정 사용에 따라 사용되었습니다. 모든 권리는 해당 소유자에게 있습니다.

다리 위 교통량 급증

What is a Moment of Inertia?

The moment of inertia which we refer it in this blog as “MoI” describes how strongly an object resists changes in its rotational motion. It depends on both the object’s mass and how that mass is distributed relative to the axis of rotation.

예를 들어 피겨 스케이터를 생각해 보세요. 팔을 몸에 가까이 당기면 회전축을 중심으로 질량 분포가 더욱 집중됩니다. 이로 인해 관성 모멘트가 감소하고 더 빠르게 회전할 수 있습니다. 아래 공식은 이러한 현상을 보여줍니다.

어디:

•  각속도(회전 속도)는 Rad/s입니다.
•  각운동량은 Kg.m입니다.²/에스
•  MoI(질량이 어떻게 분포되는지)는 Kg.m입니다.²

각운동량은 외부 토크가 가해지기 전까지는 일정하므로, 바늘이 열릴 때 MoI가 증가하고 결과적으로 각속도는 감소합니다.

MoI를 계산하는 공식:

어디:

•  각 점의 질량입니다.
•  각 점과 축 사이의 거리입니다.

이 양은 적분을 사용하여 정의할 수도 있습니다.

단위:

• 관성 모멘트(I): 킬로그램·제곱미터

What is a Moment of Area?

단면 모멘트(2차 단면 모멘트라고도 함)는 구조물의 굽힘이나 변형에 대한 저항력을 결정합니다. 이는 보, 교량 및 기타 구조물이 작용 하중을 효율적으로 견디도록 하는 건설에 중요한 요소입니다. xy 좌표에서 x축에 대한 단면 모멘트는 다음 방정식으로 계산됩니다.

너비 b, 높이 h인 직사각형 보에 대해, 중립축으로부터 거리 y만큼 떨어진 너비 dx의 얇은 띠를 생각해 보겠습니다. 중심축(x축)에 대한 단면 모멘트는 다음과 같습니다.

그림 1: 직사각형 보 단면

 면적의 미분 모멘트는 다음과 같습니다.

여기서 dA = bdy입니다.

직사각형의 전체 높이에 대해 적분합니다.

적분을 풀면 다음과 같습니다.

단위:

• 면적 모멘트(I): 중⁴

⚠️ 주의 ⚠️: 혼동하지 마세요 관성 모멘트 ~와 함께 면적 모멘트 just because they both use the letter “I”. They are completely different concepts and have different units.

다음 그림에서는 일부 횡단면에 대한 단면 모멘트를 계산합니다.

그림 2: 다양한 단면의 단면 모멘트 [참조]

MoI와 MoA 두 원칙은 모두 안정적이고 효율적이며 견고한 엔지니어링 구조물을 설계하는 데 필수적입니다. 엔지니어는 이러한 개념을 숙지함으로써 초고층 빌딩부터 우주선까지 더욱 안전하고 효과적인 시스템을 개발할 수 있습니다.

The Parallel Axis Theorem: Engineering Versatility

그만큼 평행축 정리, 또한 ~라고도 함 하위헌스-슈타이너 정리 (Christiaan Huygens와 Jakob Steiner의 이름을 따서 명명됨)은 물체가 회전이나 굽힘에 어떻게 저항하는지 알아내는 데 유용한 도구입니다.중심 주변뿐만 아니라, 하지만 주변 any axis that’s parallel to it.

작동 방식은 다음과 같습니다.
If you already know the moment of inertia (or second moment of area) around the object’s center of gravity, and you know how far the new axis is from that center, this theorem lets you calculate the moment for the new axis using that distance.

• 면적 모멘트:

If the axis is not aligned with the centroid, it’s time to rely on the parallel axis theorem to obtain the moment of area:

• • 나_기음 중심축에 대한 단면 모멘트입니다.
  • 에이 단면적이에요.
  • 디 중심축과 새로운 축 사이의 거리입니다.
  • 나 새로운 축에 대한 면적의 모멘트입니다.

• 관성 모멘트:

평행축 정리는 면적 모멘트에만 적용되는 것이 아니라, 질량 중심축과 평행한 축에 대한 MoI를 계산하는 데에도 사용할 수 있습니다. 이 MoI 공식은 면적 모멘트와 매우 유사하지만 약간의 차이가 있습니다.

• • 나_기음 MoI는 질량 중심에 관한 것입니다.
  • 중 물체의 질량입니다.
  • 디 두 평행축 사이의 거리입니다.
  • 나 MoI는 새로운 축에 관한 것입니다.

이 정리는 고전 역학, 특히 강체 동역학의 회전 관성 개념에서 유래되었습니다. 이 정리는 물체의 관성 모멘트가 질량 분포와 회전축의 위치에 따라 달라진다는 원리에 기반합니다.

대부분의 공학 구조물과 구성 요소가 항상 중심축을 중심으로 회전하는 것은 아니므로, 이 정리는 알려진 관성 값을 새로운 회전축으로 확장하는 쉬운 방법을 제공합니다. 추가된 항 md²은 회전축의 이동을 설명합니다.

• 평행축 정리의 중요성:
  • 보 설계에 필수: 중립축이 중심과 일치하지 않을 때 정확한 단면 모멘트를 계산하는 데 사용됩니다.
  • T형 강재와 I형 강재의 강도 해석: T형 강재와 I형 강재와 같은 구조 부재는 여러 개의 연결된 단면으로 구성됩니다. 중심축이 기준축과 다르기 때문에 엔지니어는 이 정리를 이용하여 전체 단면 모멘트를 정확하게 계산합니다.
  • 로봇공학 및 기계 시스템에 적용: 변위된 축을 중심으로 회전하는 부품(예: 로봇 팔, 크랭크샤프트, 연결 장치)의 관성 모멘트를 계산하여 모션 제어와 안정성을 향상시키는 데 사용됩니다.
  • Crucial for Composite Sections: Helps calculate the overall resistance to bending in composite structures, such as T-beams, where multiple members contribute to the structure’s stiffness.
• 예:

그림 3: 중심 축을 중심으로 회전하는 막대

평행축 정리를 사용하여 얇고 균일한 막대가 끝을 중심으로 회전할 때의 MoI를 구합니다. 질량 중심을 중심으로 회전할 때의 MoI는 다음과 같습니다.

어디:

• 중 막대의 총 질량입니다.
• 엘 막대의 길이입니다.
  • 1단계: 회전축과 물체의 질량 중심을 통과하는 평행축 사이의 거리를 구하세요. 이 경우, 회전축은 막대 길이의 절반만큼 질량 중심에서 이동했거나 L/2만큼 이동했습니다.
  • 2단계: 평행축 정리를 사용하여 회전축에 대한 물체의 관성 모멘트(MoI)를 구합니다. 물체의 질량 중심을 기준으로 알려진 관성 모멘트를 평행축 정리에 대입하면 다음 식이 성립합니다.

다음으로, h에 적절한 양을 대입합니다.

지수를 평가하면 다음과 같습니다.

덧셈을 수행하면 다음과 같은 답이 나옵니다.

Polar Moment of Inertia

그만큼 극관성 모멘트(J), which we will refer it as “PMoI” in this blog, 단면의 기하학적 특성으로, 주어진 축(일반적으로 축의 중심축)을 중심으로 면적이 어떻게 분포되어 있는지를 나타냅니다. 구조 부재의 비틀림 저항성을 정량화합니다.

It is the material’s resistance to torsional (twisting) deformation — related to the shape of a cross-section, not mass. The polar moment of inertia is indeed a kind of second moment of area, just taken about a central (polar) axis, instead of a horizontal or vertical one. Don’t confuse it with the mass moment of inertia, which uses mass elements instead of area.

일반적인 모양의 경우:

• 솔리드 원형 샤프트:

• 중공 원형 샤프트(튜브):

어디:

• 디 = 솔리드 샤프트의 직경

• 디_영형​ = 외경

• 디_나= 내경

단위:

• SI 단위:

  미터⁴ (중⁴)

하지만 PMoI에 평행축을 사용할 수 있을까요?

예, 평행 축 정리는 PMoI에 적용될 수 있습니다. 그러나 이를 위해서는 두 개의 수직 평면 면적 모멘트(I)에 적용해야 합니다._엑스 그리고 나_와이) about the same point. Let’s clear that out.

만약 당신이 알고 있다면 중심축에 대한 극관성 모멘트 모양의 경우 다음을 사용하여 평행 축에 대한 모양을 찾을 수 있습니다.

어디:

• 제이_영형​ = 새로운 축(중심이 아님)에 대한 PMoI

• 제이_기음​ = 중심축에 대한 PMoI

• 에이 = 단면적

• 디 = 중심축과 새로운 축 사이의 거리

하지만 앞서 말했듯이 어떻게 작동할까요?

기억하세요, 관성 모멘트는 다음과 관련이 있습니다. 둘 다 x축과 y축에 대한 관성 모멘트:

어디:

• 나_엑스 x축에 대한 면적의 2차 모멘트입니다.
• 나_와이 y축에 대한 면적의 2차 모멘트입니다.

따라서 각각에 평행축 정리를 적용하면 다음과 같습니다.

그 다음에:

어디:

• ​​ is the distance from the centroid to the new axis
• A는 모양의 면적입니다

Shapes Matter; Hollow Shaft: A Closer Look at Design

구조적 형태에 따라 단면 2차 모멘트와 극관성 모멘트가 달라지며, 이는 각각 굽힘과 비틀림에 대한 저항성에 영향을 미칩니다. 대표적인 예가 중공 샤프트입니다. 중공 샤프트는 강도를 향상시키고 무게를 줄여줍니다.

• 중공축을 사용하는 이유는 무엇입니까?

중공 샤프트는 높은 강도 대 중량비를 제공하기 때문에 엔지니어링 분야에서 널리 사용됩니다. 중공 샤프트와 비교했을 때 다음과 같은 장점이 있습니다.

• 더 적은 재료를 사용하면서도 비틀림에 대한 저항성이 더 뛰어납니다.
• 무게가 가벼워 항공우주 및 자동차 분야에 적합합니다.
• 회전 시스템에서 불필요한 질량을 줄여 에너지 효율을 향상시킵니다.

중공 원형 단면의 MoI와 MoA는 각각 다음과 같습니다.

어디:

• 디 = 솔리드 샤프트의 직경

• 디_영형​ = 외경

• 디_나= 내경

이 방정식은 외경을 조금만 늘려도 샤프트의 강성이 크게 향상될 수 있음을 보여줍니다. 이는 굽힘 저항을 결정하는 단면 2차 모멘트와 비틀림 저항을 결정하는 극관성 모멘트가 모두 직경의 4제곱에 비례하기 때문입니다. 결과적으로 중공 샤프트는 재료 사용량을 줄이면서도 높은 강성을 유지할 수 있어 굽힘 및 비틀림 힘에 효율적으로 저항할 수 있습니다.

• 힘이 중공 샤프트에 미치는 영향

아래 다이어그램은 중공 샤프트에 작용하는 다양한 힘과 이러한 힘이 중공 샤프트의 MoI와 단면 모멘트에 어떻게 영향을 미치는지 보여줍니다.

그림 4: 다양한 하중 조건에서의 중공축 [참조]