转动惯量与面积矩——你需要知道的一切尽在一份简明指南

你见过花样滑冰运动员把手臂收拢到身体附近，然后加快旋转速度吗？大多数人会说，, “哇！她太棒了！她真漂亮！”
但我们工程师认为，, “她为什么转得更快了？”
答案： 转动惯量。. We refer it in this blog as “MoI”.

现在想象一下，一座桥上车水马龙，挤满了车辆。大多数人都很生气，按喇叭、喊叫。.
但我们工程师还是要问：, “这座桥怎么还能屹立不倒？”
答案： 面积矩。. We refer it in this blog as “MoA”.

转动惯量决定了物体抵抗旋转运动的能力，而截面惯量则决定了结构抵抗弯曲力的能力。工程师运用这些原理来设计安全可靠的系统，从发动机中的旋转轴到摩天大楼中的承重梁，无所不包。.

本文将解释这些概念、它们的数学基础以及它们在工程中的实际应用。您还将了解平行轴定理，该定理使工程师能够将惯性计算扩展到新的旋转轴，并了解为什么空心轴因其效率和强度而被广泛应用。.

GIF图片由POPSUGAR提供，内容为南希·克里根在1994年冬季奥运会上的比赛画面。
此GIF动画根据合理使用原则用于教育目的，旨在说明旋转运动的物理原理。所有权利归其各自所有者所有。

桥上交通拥堵

What is a Moment of Inertia?

The moment of inertia which we refer it in this blog as “MoI” describes how strongly an object resists changes in its rotational motion. It depends on both the object’s mass and how that mass is distributed relative to the axis of rotation.

例如，以花样滑冰运动员为例；当她将双臂收拢到身体两侧时，她围绕旋转轴的质量分布会更加集中。这会降低她的转动惯量，使她能够旋转得更快。以下公式解释了这一过程：

在哪里：

•  是角速度（旋转速度）：弧度/秒
•  角动量：千克·米²/s
•  是 MoI（质量分布情况）：千克·米²

由于角动量在受到外部扭矩作用之前是恒定的，因此，随着手掌张开，惯性矩增大，结果角速度减小。.

计算惯性矩的公式：

在哪里：

•  是每个点的质量。.
•  是各点到坐标轴的距离。.

该量也可以用积分来定义：

单位：

• 转动惯量（I）： 千克·平方米

What is a Moment of Area?

面积矩（也称截面二次矩）决定了结构抵抗弯曲或变形的能力。它是建筑施工中的关键因素，确保梁、桥梁和其他结构能够有效地承受荷载。绕 x 轴在 xy 坐标系中的面积矩可通过以下公式计算：

对于宽度为 b、高度为 h 的矩形梁，考虑距中性轴 y 处宽度为 dx 的薄条。该薄条绕其形心轴（x 轴）的截面惯性矩为：

图1： 矩形梁截面

 面积微分矩为：

其中 dA = bdy。.

对矩形的整个高度进行积分：

通过求解该积分：

单位：

• 面积矩（I）： 米⁴

⚠️ 警告 ⚠️：请勿混淆 转动惯量 和 面积矩 just because they both use the letter “I”. They are completely different concepts and have different units.

在下一张图中，计算了一些横截面的面积矩。.

图2： 不同截面的面积矩参考]

惯性矩 (MoI) 和作用力矩 (MoA) 这两个原理对于设计稳定、高效且坚固的工程结构至关重要。工程师们通过掌握这些概念，可以开发出更安全、更高效的系统，从摩天大楼到航天器，无所不包。.

The Parallel Axis Theorem: Engineering Versatility

这 平行轴定理, 也称为 惠更斯-斯坦纳定理 （以克里斯蒂安·惠更斯和雅各布·施泰纳的名字命名）是计算物体抵抗旋转或弯曲能力的有用工具——不仅仅是中心附近, 但是大约 any axis that’s parallel to it.

它的工作原理如下：
If you already know the moment of inertia (or second moment of area) around the object’s center of gravity, and you know how far the new axis is from that center, this theorem lets you calculate the moment for the new axis using that distance.

• 面积矩：

If the axis is not aligned with the centroid, it’s time to rely on the parallel axis theorem to obtain the moment of area:

• • 我_C 是面积绕质心轴的矩。.
  • 一个 是横截面积。.
  • d 是质心轴与新轴之间的距离。.
  • 我 是面积绕新轴线的矩。.

• 转动惯量：

平行轴定理不仅适用于面积矩，也可用于计算绕平行于质心轴的轴的惯性矩。该惯性矩的公式与面积矩的公式非常相似，只有细微差别：

• • 我_C 惯性矩是围绕质心的。.
  • 米 是物体的质量。.
  • d 是两个平行轴之间的距离。.
  • 我 是围绕新轴的惯性矩。.

该定理源自经典力学，特别是刚体动力学中的转动惯量概念。它基于以下原理：物体的转动惯量取决于其质量分布和旋转轴的位置。.

由于大多数工程结构和部件并非始终绕其质心轴旋转，该定理提供了一种将已知惯性值推广到新的旋转轴的简便方法。附加项 md² 用于表示旋转轴的偏移。.

• 平行轴定理的重要性：
  • 梁设计的关键：用于计算中性轴与形心不对齐时的正确截面弯矩。.
  • T型梁和工字梁的强度分析：T型梁和工字梁等结构构件由多个连接部分组成。由于它们的形心轴与参考轴不同，工程师利用该定理来精确计算它们的整体截面弯矩。.
  • 在机器人和机械系统中的应用：用于计算绕位移轴旋转的零件（例如，机械臂、曲轴、连杆）的转动惯量，从而增强运动控制和稳定性。.
  • Crucial for Composite Sections: Helps calculate the overall resistance to bending in composite structures, such as T-beams, where multiple members contribute to the structure’s stiffness.
• 例子：

图 3：绕偏离中心轴的旋转杆

利用平行轴定理求细均匀杆绕其一端旋转时的转动惯量。杆绕其质心旋转时的转动惯量为：

在哪里：

• M 是杆的总质量。.
• L 是杆的长度。.
  • 第一步： 确定旋转轴与穿过物体质心的平行轴之间的距离。在本例中，旋转轴已从其质心移动了杆长的一半，即 L/2 的距离。.
  • 步骤二： 利用平行轴定理求出物体绕旋转轴的转动惯量。将已知物体绕其质心的转动惯量代入平行轴定理，即可得到结果。.

接下来，我们代入 h 的正确数值：

计算指数得出：

进行加法运算即可得到答案：

Polar Moment of Inertia

这 极惯性矩（J），, which we will refer it as “PMoI” in this blog, 是横截面的几何属性，它表示面积如何围绕给定轴线（通常是轴的中心轴线）分布。它量化了结构构件抵抗扭转的能力。.

It is the material’s resistance to torsional (twisting) deformation — related to the shape of a cross-section, not mass. The polar moment of inertia is indeed a kind of second moment of area, just taken about a central (polar) axis, instead of a horizontal or vertical one. Don’t confuse it with the mass moment of inertia, which uses mass elements instead of area.

对于常见形状：

• 实心圆轴：

• 空心圆轴（管）：

在哪里：

• d = 实心轴的直径

• d_o​ = 外径

• d_我= 内径

单位：

• 国际单位制：

  米⁴ （米）⁴)

但是我们能否使用平行轴来计算 PMoI？

是的，平行轴定理可以应用于PMoI——但这需要将其应用于两个相互垂直的平面面积矩（I）。_x 我_是) about the same point. Let’s clear that out.

如果你知道 绕质心轴的极惯性矩 对于某个形状，您可以使用以下方法找到它绕任意平行轴的偏心率：

在哪里：

• J_o​ = 关于新轴线的 PMoI（不是质心）

• J_C​ = 关于质心（中心）轴的 PMoI

• 一个 横截面面积

• d = 质心轴与新轴之间的距离

但这是如何按照我们之前所说的运作方式进行的呢？

记住，极惯性矩与……有关 两个都 关于 x 轴和 y 轴的转动惯量：

在哪里：

• 我_x 是关于 x 轴的面积二次矩
• 我_是 是面积关于y轴的二阶矩

因此，对每一项应用平行轴定理：

然后：

在哪里：

• ​​ is the distance from the centroid to the new axis
• A 是该图形的面积

Shapes Matter; Hollow Shaft: A Closer Look at Design

不同的结构形状具有不同的截面惯性矩和极惯性矩，分别影响其抗弯和抗扭性能。空心轴就是一个很好的例子——它的形状既能提高强度，又能减轻重量。.

• 为什么要使用空心轴？

空心轴因其高强度重量比而被广泛应用于工程领域。与实心轴相比，它们具有以下优点：

• 用料更少，抗扭性能更好。.
• 重量更轻，使其成为航空航天和汽车应用的理想选择。.
• 通过减少旋转系统中不必要的质量来提高能源效率。.

空心圆形截面的惯性矩和转动惯量分别由下式给出：

在哪里：

• d = 实心轴的直径

• d_o​ = 外径

• d_我= 内径

该方程表明，即使外径略微增加，也能显著提高轴的刚度。这是因为截面二次矩（决定抗弯性能）和极惯性矩（决定抗扭性能）均与直径的四次方成正比。因此，空心轴可以在保持高刚度的同时减少材料用量，使其能够有效地抵抗弯曲和扭转力。.

• 力如何影响空心轴

下图展示了作用在空心轴上的各种力，以及它们如何影响空心轴的惯性矩和截面惯性矩：

图 4：不同载荷条件下的空心轴 [参考]