剪力和弯矩完整指南 + 图解

你有没有注意到桥梁是如何承载数吨重物而不坍塌的？或者建筑物是如何在人流和风雨的双重作用下屹立不倒的？这并非魔法，而是物理学原理。而支撑这种稳定性的两个最重要的概念是： 剪切力 和 弯矩.

要理解剪切力，可以想象一下用剪刀剪一张纸。. 这 对立势力 使纸张发生剪切。类似地，在梁中，剪切力代表梁对垂直于其长度方向的外部载荷的抵抗力。. 弯矩, ， 另一方面，, 描述力如何产生旋转效应, 导致梁弯曲。这些概念有助于工程师预测应力分布并设计能够承受外力的结构。.

在本篇博客中，我们将解释剪力、剪应力和弯矩。我们将讨论它们的数学表达式、符号约定，以及如何使用剪力图和弯矩图来可视化它们。此外，我们还将分析一些实际案例，以帮助您理解这些力如何影响不同的结构。.

What is Shear force?

剪切力是指结构或材料内部抵抗因外部载荷作用而发生的部件间滑动的力。它也可以指以诱发剪切的方式施加的外部力。.

例子：

• 内部剪切力： 在结构分析中分析梁时，我们会计算内部剪力以了解内部应力分布。.
• 外部剪切力： 当两个方向相反、方向平行的力作用于一块板上时（例如冲压机），它们就是外力作用下的剪切力。.

从数学角度来说，任意截面的剪力为：

在哪里：

• F_是 代表垂直方向的力。.
• V 是剪切力。.

单位：

剪切力（V）： 牛顿

What is Shear Stress (Shear)?

• 剪切（剪切应力）: shear itself is not a force—it’s a mechanical phenomenon or type of deformation. It 描述了材料层在受到相反力作用时如何相互滑动。. 剪切应力 作用方向与材料表面平行, 这使得材料的一部分滑过另一部分。一个简单的例子是用剪刀剪纸，纸张就会受到剪切应力。.

计算剪应力的公式为：

在哪里：

•  剪切应力（引起滑动效应的力的大小）
• A 是横截面面积（力作用的面积）。
• F 为施加的力（作用在物体上的力）。

单位：

剪切应力（): 帕斯卡尔

What is Bending Moment?

弯矩是指力作用于梁上一定距离时产生的旋转效应，它会导致梁发生弯曲。弯矩是力的大小与力作用线到参考点的垂直距离的乘积。例如，想象一根悬臂梁，一端固定，另一端受力。施加的力会在固定端产生弯矩，试图使梁发生旋转或弯曲。.

从数学角度来看：

• 其中 d 为距截面的距离。.
• M 为弯矩。.

Sign Conventions of Shear force and Bending moment

• 剪切力： 如果剪切力使梁单元顺时针旋转，则该剪切力为正值。相反，如果使梁单元逆时针旋转，则该剪切力为负值。.
• 弯矩： 如果梁的底部纤维受拉，顶部纤维受压，则弯矩为正；如果弯矩作用正好相反，则弯矩为负。.

图1： 剪力和弯矩符号约定

shear force and bending moment diagram

在了解了剪力和弯矩的基本定义之后，我们来分析一下它们是如何以图表形式直观表示的。下图展示了悬臂梁在其自由端承受集中载荷 (P) 时的剪力图 (SFD) 和弯矩图 (BMD)。.

图 2：梁的弯矩图和剪力图 [参考]

• 剪切力图（SFD）：

梁上任意截面的剪力 (V) 是作用在该截面左侧或右侧的竖向力的总和。图中所示的剪力图 (SFD) 是一个水平的绿色矩形。在本例中，由于自由端只有一个集中载荷 (P)，因此梁上的剪力保持不变。梁上每一点的剪力都等于 P（正号表示向上的力）。.

数学表示：

因此，剪力图呈现为一个水平矩形，表示梁长方向上的剪力值恒定。.

• 弯矩图（BMD）：

梁上任意截面的弯矩 (M) 等于力 (P) 与距自由端垂直距离 (x) 的乘积。弯矩沿轴向固定支座方向线性增加，并在固定支座处达到最大弯矩。.

数学表示：

在自由端（x=0），力矩为零。.

在固定端（x=L）处，力矩最大，其表达式为：

弯矩图呈三角形，从自由端的 0 到固定支座处的 PL 呈线性变化。.

Distribution of Shear Stress and Bending Stress

一旦我们知道了梁中的剪力和弯矩，下一个问题就是——这些内部力是如何转化为材料内部实际应力的？

让我们从……开始 弯曲应力. 当梁弯曲时，一侧的材料会拉伸（受拉），而另一侧的材料会压缩。应力并不均匀，而是沿梁截面高度方向呈线性变化。这就是为什么在工字梁中， 法兰 承受大部分弯曲应力。.

现在，, 剪切应力 情况略有不同。它的峰值出现在…… 中性轴 并向顶部和底部表面逐渐减小。大部分应力由……承受。 网站 工字钢。.

所以，, 梁的各个部分承受应力的方式并不完全相同。. 这些内部力在梁的横截面上的传播方式会影响从材料选择到横截面形状的一切。.

我们可以用数学方式表达这些应力分布，下面我们将逐步介绍关键方程式。.

Before diving into how stresses are distributed across a beam’s cross-section, it’s worth quickly revisiting 为什么 它们首先就会出现。.

结构分析的核心在于两点： 平衡 和 材料性能. 作为工程师，我们知道梁的每一段都必须满足静力平衡的基本条件：

平衡： 梁的任何一段都必须满足静力平衡条件：

• （无净水平力）。.
• （无净垂直力）。.
• （对任何一点均无净力矩）。.

这些条件确保结构保持平衡。但现实世界的挑战不仅仅在于平衡——而在于…… 梁内部材料如何承受这些载荷. 这时，剪切力和弯曲力等内部力就开始发挥作用了——事情也开始变得有趣起来。.

所以，再次强调，横截面的各个部分承受应力的方式并不相同。. 内部应力分布是大多数结构设计选择的主要驱动因素。.

让我们把它分成两部分来分析： 弯曲应力 和 剪切应力.

Bending Stress Distribution

弯矩会引起弯曲应力。.

当梁弯曲时，梁两侧的材料纤维会发生弯曲。 中性轴 采取不同的行为：

• 这 顶层纤维压缩

• 这 底部纤维拉伸

• 和 正中间, 在中性轴上，有 无弯曲应力

这会造成 线性应力分布中心处为零，顶部和底部表面为最大值。这就是为什么在工字钢中，我们要加强…… 法兰—它们承受了大部分弯曲载荷。.

弯曲应力计算公式如下：

在哪里：

• $\sigma$ = 弯曲应力（Pa 或 N/m²）

• M = 截面弯矩 (Nm)

• 是= 距中性轴的距离（米）

• 我 = 截面转动惯量 (m⁴)

Shear Stress Distribution

剪切力会导致剪切应力。.

剪切应力遵循不同的规律。 中性轴处的最大值 并在光束的顶部和底部逐渐减小至零。这就产生了一种 抛物线分布 在矩形梁中，这一点尤为重要，在工字梁中更是如此。 网站 （垂直部分）承受了大部分剪力。.

以下是剪应力公式：

在哪里：

• $\tau$ = 给定点的剪应力（Pa 或 N/m²）

• V 剪切力（牛顿）

• 问 = 感兴趣点上方面积的一阶矩 (m³)

• 我 = 转动惯量 (m⁴)

• b = 该点处的截面宽度（米）

Why Stress Distribution Matters

了解应力如何在梁中分布不仅仅是理论练习，它也是一种设计工具。它告诉我们：

• 去哪里 添加材料 抵抗弯曲（法兰）

• 去哪里 加强抗剪 （网络）

• 以及失败最有可能从哪里开始。

When you’re evaluating a design—or diagnosing a failure—these stress patterns usually tell the full story.

数学方法

我们可以通过三个步骤计算梁截面中的力和应力：

第一步： 寻找支持性反馈：

首先，我们计算支座处的反力。通过使用平衡方程

步骤二： 计算剪切力：

求梁上任意一点的剪力：

• 对于集中载荷，剪切力等于集中力。.
• 对于均布荷载（UDL），剪力等于集中支座力与由扩展力转换而来的集中力之和。

步骤 3： 计算弯矩（M）：

任意一点的弯矩可通过对剪力进行积分得到。

这些计算有助于我们绘制剪力图和弯矩图。.

Practical Example: Beam Calculation

在以下示例中，我们将计算图中所示梁的剪力和弯矩。最后，我们将绘制该梁的剪力图和弯矩图。.

图 3：简支梁在集中力作用下

首先，我们需要绘制受力图。B支座是铰支座，可以承受垂直和水平方向的力，而A支座是滚轴支座，只能承受垂直方向的荷载。下图显示了受力图。.

图 4：梁的自由体图

为了计算支座反力，我们应该使用平衡方程。因为x方向上没有力，所以  等于零：

计算完支座反力后，为了确定任意截面处的剪力和弯矩，我们需要在各力之间进行截面分析。首先，我们从梁的左侧开始：

图 5：第一刀的自由体图

如果 x 是梁上任意一段到其铰接端的距离，则该距离处的弯矩可按如下方式确定：

现在轮到对下一个切口（两个集中力之间）重复这些计算了：

图 6：第二次切割的自由体图

对于这次切割，就像第一次切割一样，我们应该使用平衡方程：

对于此距离，x 的值介于 3.5 毫米到 7 毫米之间：

根据已获得的信息，我们可以绘制剪力图和弯矩图。需要注意的是，由于滚轴支座无法承受弯矩，因此我们无需计算17kN力与滚轴支座之间的弯矩。在此距离内，弯矩减小至零。.