If you’ve ever looked at a complex 3D model and thought, “There has to be a simpler way,” you’re not alone. That’s where the idea of 平面应力与平面应变 来了！这两个巧妙的快捷方式可以帮助工程师将复杂的问题分解成更简单的二维问题。不确定该用哪个，或者为什么这很重要？让我们用简单快捷的方式为您解答。.
平面应力与平面应变
在工程领域，我们经常想知道材料在载荷作用下的行为。但是，解决三维问题可能既缓慢又复杂。这就是…… 平面应力 和 平面应变 进来吧。它们让我们能够将三维问题简化为更容易的二维问题。.
在机械工程中，平面应力和平面应变是两个用于简化材料应力与变形分析的基本概念。平面应力适用于薄体，其中某一维度（例如厚度）上的应力可以忽略不计，常见于受力薄板。而平面应变则适用于长条形结构，其中某一方向上的应变极小，例如长墙或大坝。理解这些概念有助于工程师有效地预测材料在各种载荷条件下的行为。.
这两个概念可以帮助工程师预测物体如何拉伸、压缩或变形——无需进行不必要的计算。.
-
平面应力 发生在 薄片 力主要沿两个方向作用。厚度方向的应力非常小，可以忽略不计，这种情况常见于受力薄板。.
- ✔️ 仅压力 X 和 Y 方向 事情
- ❌ Z方向应力≈0
-
平面应变 出现在 厚或长的结构, 例如，在长墙或大坝中，一个方向完全不会拉伸或收缩。.
- ✔️ 压力 Z 方向 = 0
- ❌ 不允许沿长方向变形
平面应力与平面应变
Why 2D Modeling? | Plane Stress and Plane Strain
二维 (2D) 建模是结构和力学分析中一种智能且高效的方法。当结构的某一维度是任意的时，它的效果最佳。 非常小 或者 非常大 与其他产品相比。.
通过假设沿厚度方向的变化恒定或可忽略不计，二维分析在不牺牲太多精度的前提下，显著降低了计算成本。这使得模拟桥梁或压力容器等大型结构，能够比使用完整的三维模型节省更少的时间和内存。.
此外，二维假设使工程师能够专注于捕捉关键行为，例如应力集中、载荷路径和变形模式，同时避免不必要的复杂性。尤其是在早期设计阶段或可行性研究阶段，二维建模能够快速识别关键问题，从而加快决策速度。如果应用得当，平面应力和平面应变近似不仅计算速度更快，而且结果也更可靠。.
在平面应力和平面应变两种情况下，我们都将问题简化为二维问题，通常是在xy平面上。这减少了需要求解的方程数量，简化了边界条件，并在不显著牺牲精度的前提下加快了计算速度。.
平面应力和平面应变二维建模的优势：
- 节省时间： 二维仿真所需的求解时间仅为三维模型的几分之一，因此非常适合用于设计迭代、初步研究或概念验证。.
- 更低的资源需求： 2D 模型消耗的内存和处理能力要少得多，即使在配置一般的计算机上也能运行复杂的模拟。.
- 更清晰的洞察： 通过聚焦于一个平面，工程师可以更轻松地可视化应力分布、变形模式、裂纹扩展路径和应变局部化情况。通常，使用二维建模能使结果更容易理解。.
What is Plane Stress?
平面应力 occurs when the stress across one dimension (usually the thickness) is negligible compared to the stresses in the other two dimensions. This is often seen in thin plates subjected to forces perpendicular to the plane. For example, a thin metal sheet is subjected to tension in its plane. The stresses in the thickness direction are negligible compared to the in-plane stresses.
- 平面应力状态下的应力张量：
如图所示，不存在垂直于平面（z方向）的应力分量。只有平面内（xy平面）的正应力和剪应力。下图显示了平面内的应力分布。.
图1： xy平面内的平面应力
- 公式和关系（本构模型）：
当结构相对于其其他尺寸而言非常薄时，就会出现平面应力状态，此时面外应力可以忽略不计，因此：
基于线性弹性理论的应力与应变之间的本构关系为：
在哪里：
- E是杨氏模量
- v 是泊松比
和 
是正常菌株
工程剪切应变
和 
是正常菌株
工程剪切应变在平面应力状态下，允许沿厚度方向自由变形，这意味着没有约束会阻止面外膨胀或收缩。.
What is Plane Strain?
平面应变 指的是变形仅发生在二维空间，而第三维应变可以忽略不计或为零的情况。这种情况常见于长度远大于其他两个维度的长结构中。.
例如，一座长混凝土坝在其高度和宽度方向上承受荷载。在这种情况下，假设结构长度方向上的应变为零，仅考虑其他两个维度（高度和宽度）上的应变。.
- 平面应变的应变张量：
下图为平面应变示意图。.
图 2：平面应变示意图
- 公式和关系（本构模型）：
当结构非常长或在一个方向上受到约束，从而阻止沿该轴发生任何变形时，就会出现平面应变状态。基于应变矩阵，可以做出以下假设：
因此，平面应变下的应力-应变关系为：
在哪里：
- E是杨氏模量
- v 是泊松比
和 
是 x 和 y 方向上的正应力。.- 剪切应力
和 
是 x 和 y 方向上的正应力。.
剪切应力Which one should we choose? Plane stress or plane strain
Selecting between plane stress and plane strain isn’t just about picking a simulation method — it’s about matching the mathematical model to the real physical behavior of your structure. The choice depends mainly on geometry, boundary conditions, and loading direction.
- 平面应力适用于以下情况：
- 与它的长度和宽度相比，它的厚度非常小（通常小于 1/10）。.
- 荷载位于结构所在的平面内。.
- 在面外方向上没有约束（结构可以沿厚度方向自由变形）。.
例如：
- 薄金属或塑料片
- 汽车车身部件
- 薄复合材料层压板
- 平面应变适用于以下情况：
- 该结构在一个方向上非常长或非常厚，并且假设沿该轴不会发生变形。.
- 由于物理约束或对称性，面外应变基本为零。.
- 物体在长方向上表现出均匀的行为。.
典型例子：
- 埋设在地下的长隧道或管道
- 土坝
- 挤压模具的横截面
有时，很难区分平面应力状态和平面应变状态。结构可能介于两者之间。例如：
- 如果你的零件不是很薄或很厚（例如，中等厚度的板），外层可能表现得像平面应力，而中心表现得更像平面应变。.
- 如果你的零件有孔洞、缺口或尖角，即使结构的其余部分是二维的，这些区域周围的应力也会变成三维的。.
如果您不确定哪个选项最合适，请不要随意猜测。请同时运行平面应力模拟和平面应变模拟，以查看可能的应力或应变值范围。这有助于您估算上下限。为了获得更高的精度，您可以切换到完整的 3D 模型。下表概述了快速选择平面应力和平面应变的条件。.
选择平面应力应变法的条件
What is stress?
应力是指材料在受到外力推拉时所承受的力或压力。想象一下，挤压橡胶球或拉伸橡皮筋，它们都处于应力状态。你推、拉或扭转物体的力越大，它所承受的应力就越大。如果应力过大，材料可能会变形甚至断裂。应力有助于工程师了解材料在开始损坏之前能够承受多大的重量或压力。.
在材料力学中，应力被定义为材料内部单位面积上所受的内力。.
Real Examples of Stress
- 拉伸 压力： 悬索桥支撑缆索的张力
- 压缩应力： 支撑建筑物的混凝土柱的压缩
- 剪切应力： 当材料受到力作用而发生滑动时，例如剪刀剪纸。.
- 扭转应力： 汽车传动轴的扭转
- 弯曲应力拱桥中的弯曲应力
Stress Formula
应力公式（
） 是：
在哪里：
压力是……,- F为施加的力，,
- A 是力作用的原始横截面面积。.
例子： 横截面积为 0.01 m² 的杆受到 1000 N 的拉力，则杆上的应力为：
6.3 应力单位
国际单位制 (SI) 中应力的单位是帕斯卡 (Pa)，它等于 1 牛顿每平方米 (N/m²)。其他应力单位包括：
- 千帕 (kPa): 1 kPa = 1000 Pa
- 兆帕斯卡（MPa）： 1 兆帕 = 1,000,000 帕
- 每平方英寸磅数（psi）： 在美国常用，1 psi = 6894.76 Pa
图 3： 压力概念[参考]
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What is strain?
Strain is a measure of deformation representing the displacement between particles in the material body. It quantifies how much a material reshape under forces. Imagine a rod getting stretched under tension. Strain tells you by what fraction its length increased compared to its initial length. Strain is a dimensionless quantity as it represents the ratio of the change in length to the original length.
Real Examples of Strain
- 拉伸应变： 橡皮筋拉伸后，长度会比原来的长度增加。.
- 压缩应变： 海绵被挤压时，其长度会比原来的长度缩短。.
- 剪切应变： 当一叠纸被侧向推动时，各层之间会发生相对位移。.
Strain Formula
线性应变公式（
） 是：
在哪里：
是线性应变，,
是长度的变化，,
是原长度。.
是长度的变化，,
是原长度。.例子： 一根原长2米的钢筋在受力作用下伸长了0.01米，则其应变为：
Strain Unit
应变是一个无量纲量，因为它表示两个长度之比。因此，它没有单位。应变通常用百分比或分数表示。.
图 4： 应变概念[参考]
What are engineering and true stress and strain?
工程 应力与应变 和 真实应力与应变 这是测量材料应力和应变的两种不同方法。.
工程应力与应变
- 工程应力
): 工程应力是通过将施加的载荷 (F) 除以原始横截面积来计算的 (
）材料的：
): 工程应力是通过将施加的载荷 (F) 除以原始横截面积来计算的 (
）材料的：
- 工程应变（
) 工程应变是通过将长度变化量除以（
）除以原始长度（
):
) 工程应变是通过将长度变化量除以（
）除以原始长度（
):
真实应力与应变
- 真实压力（): 真实应力是通过将施加的载荷 (F) 除以材料的瞬时横截面积 (A) 来计算的：
): 真实应力是通过将施加的载荷 (F) 除以材料的瞬时横截面积 (A) 来计算的：
真菌株（ 
): 真实应变是通过对长度增量变化量与原始长度进行积分计算得出的：
Differences between Engineering and True Stress and Strain
工程应力和应变足以解决许多工程问题，尤其是在初始线性弹性阶段。对于高变形材料（塑料、承受大应变的金属），由于会发生颈缩（截面减小），真实应力和应变就显得更为重要。.
- 工程应力与应变 计算起来比较简单，常用于材料的初始设计和分析。它们基于材料的原始尺寸，没有考虑变形过程中发生的尺寸变化。.
- 真实应力与应变 provide a more accurate representation of the material’s behavior, especially at higher strains. They account for the actual changes in the dimensions of the material as it deforms.
Example: Tensile Test
想象一下，一根圆形金属棒在拉伸试验中被拉伸。最初，工程应力和真实应力与应变将非常接近。然而，随着金属棒颈缩（特定区域变细），由于截面积减小，真实应力会增加，而工程应力则会因为原始截面积不变而减小。.
- 工程应力与应变： 假设一根金属杆的原始横截面积为 10 mm2，原始长度为 100 mm，在 5000 的载荷作用下伸长了 5 mm：
- 真实应力与应变： 假设由于颈缩，拉伸长度处的横截面积为 9.5 mm2。.
在Abaqus入门教程的第三课中，有 梁的简单示例 这将有助于模拟集中载荷作用在梁上的情况，并进行应力分析，从而获得梁上的应力分布。.
What are types of stress and strain?
根据所涉及的力和变形的性质，应力和应变可以分为几种类型。以下详细解释了不同类型的应力和应变，并附有示例和公式。.
Normal Stress and Strain
- 正常压力 是垂直于材料表面的应力。它可以是拉伸应力（拉伸）或压缩应力（挤压）。.
- 正常应变 是沿施加载荷方向的单位长度的变形量。.
前面的章节中介绍了这类应力和应变的公式和示例。.
图 5：正应力和应变 [参考]
通过实际例子了解正常压力： Abaqus中的三维桁架建模.
Bending Stress and Strain
- 弯曲应力 当对梁等结构构件施加弯矩或弯曲力时，就会发生弯曲。.
- 弯曲应变 是由弯矩引起的变形。.
配方：
在哪里：
- M是弯矩，,
- y 是到中性轴的距离，,
- I 是转动惯量，,
- E 是弹性模量。.
例子： Let’s consider a beam (like a metal rod) with a length of 2 meters, supported at both ends. If you apply a force of 500 Newtons directly in the middle of the beam, it will bend downwards. To calculate the bending stress, let’s assume the beam has a rectangular cross-section with a width of 0.1 meters and a height of 0.05 meters.
- 弯矩：
- 距中性轴的距离（高度的一半）：y=0.025 米
- 转动惯量：
- 弯曲应力：
图 6：弯曲示例 [参考]
Shear Stress and Strain
- 剪切应力
) 当力平行于材料表面施加时，就会发生这种情况。. - 剪切应变（
) 是由施加剪切应力引起的角变形。.
) 当力平行于材料表面施加时，就会发生这种情况。.
) 是由施加剪切应力引起的角变形。.配方：
在哪里：
是变形角度。.
是变形角度。.例子: 横截面积为 20 mm² 的螺栓受到 1000 N 的剪切力作用。变形角也等于 
.
- 剪切应力：
- 剪切应变：根据公式，剪切应变等于
.
图 7：剪切[参考]
Torsional Stress and Strain
- 扭转应力（) 当材料受到扭矩或扭力矩作用时就会发生这种情况。.
- 扭转应变（) 是由施加扭矩引起的角变形。.
配方：
在哪里：
- T是施加的扭矩，,
- r 是轴的半径，,
- J是极惯性矩，,
- G是刚性模量，,
- θ 是扭转角。.
例子： Let’s say you have a solid metal rod with a length of 1 meter and a circular cross-section with a diameter of 0.05 meters. You twist one end of the rod while the other end is fixed. The twisting force you apply is called torque. If you apply a torque of 100 Nm to the rod, you can calculate the torsional stress using the formula (The modulus of rigidity for the material is equal to 
):
- 扭转应力：
- 扭转角度：
图 8：扭转 [参考]
Thermal Stress and Strain
- 热应力
) 当材料受到温度变化的影响时，就会发生膨胀或收缩。. - 热应变（) 是由温度变化引起的形变。.
配方：
在哪里：
- E是弹性模量，,
- α是热膨胀系数，,
- ΔT 是温度变化量。.
例子： 一根钢棒，其热膨胀系数为 
弹性模量为 200 GPa 的材料从 20 度加热
到100.
- 热应变：
- 热应力（假设不允许变形）：
图 8： 各种类型的压力[参考]
Now you have learned types of stress and strain, right? But I’m sure you have heard of 主应力和应变, 而且 Mohr’s circle. What are these? what is the difference between them? You can learn all of it in this article: “什么是冯·米塞斯应力？| 莫尔圆、主应力和主应变“
阅读更多： 你可以阅读有关压力和紧张关系以及所有相关内容。 应力应变曲线 在我们的另一篇博客中。.
问题： What are the units of stress and strain in Abaqus? Get the answer in: “Abaqus 中使用的单位 | Abaqus 单位“
结论
Understanding the difference between plane stress and plane strain is crucial for simplifying complex 3D problems into manageable 2D analyses. Remember: use plane stress for thin, flat structures like metal sheets, and plane strain for long, continuous bodies like tunnels. By choosing the right approach, you can ensure accurate and efficient engineering solutions. Got questions or need examples? Feel free to reach out—we’re here to help!
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