아바쿠스의 확장 유한 요소법 | 엑스에프이엠 튜토리얼

복잡한 엔지니어링 분야에서 확장 유한 요소법(XFEM)은 재료의 균열 형성 및 전파와 같은 문제를 세부적인 메시 정렬 없이도 시뮬레이션하는 강력한 도구로 자리 잡았습니다. 기존의 유한 요소법(FEM)과 달리, XFEM은 표준 유한 요소법에 고유한 함수를 추가하여 균열과 같은 재료 내부의 불연속성을 모델링할 수 있습니다. 이러한 장점 덕분에 XFEM은 다양한 규모에 걸친 복잡한 재료 파손을 연구하는 데 특히 유용합니다.

XFEM의 손상 해석은 균열 주변의 불연속성과 응력 분포를 효율적으로 포착하는 방법에 의존합니다. 여기에는 균열 표면을 정확하게 표현하는 풍부화 함수와 응력 하에서 재료의 거동을 모델링하는 응집력 법칙이 포함됩니다. XFEM은 단위 분할법과 결합될 경우 다상 재료의 복잡한 거동을 포착하는 강력한 솔루션이 됩니다. 엔지니어와 연구자는 Abaqus와 같은 소프트웨어를 활용한 시뮬레이션을 통해 이러한 방법들을 정밀하게 제어하여 단일 모델 내에서 균열, 재료 계면 및 여러 균열 상호작용을 심층적으로 분석할 수 있습니다.

이 블로그에서는 XFEM의 핵심 개념과 응용 분야를 자세히 살펴보며, 특히 농축 함수, 계면 모델링, 응집 균열 시뮬레이션에 중점을 둡니다. FEM과 XFEM의 차이점, 농축 함수의 원리, 그리고 Abaqus에서 여러 균열이 있는 복잡한 재료를 모델링하는 과정에 대해 알아봅니다. Abaqus에서 2D 및 3D 균열 성장 시뮬레이션을 위한 단계별 예제를 제공하여 다양한 엔지니어링 과제에 대한 정확한 XFEM Abaqus 시뮬레이션을 설정하는 데 유용한 통찰력을 제공합니다.

아래의 튜토리얼 패키지는 파괴 및 균열 성장 분석과 같은 분야에서 XFEM Abaqus 방법을 구현하는 패키지 목록입니다.

FEM vs. X-FEM: Choosing the Right Approach for Multi-Scale Crack Failure Models

다중 스케일 파손 모델, 특히 복잡한 재료 거동을 포함하는 모델의 경우, 확장 유한 요소법(XFEM)이 기존 유한 요소법(FEM)보다 선호되는 경우가 많습니다. XFEM은 각 파손 지점에서 메시를 세분화하지 않고도 균열이나 공극과 같은 불연속성을 모델링할 수 있어 미세한 스케일의 세부 정보가 더 큰 구조적 거동과 상호 작용하는 다중 스케일 문제에 매우 적합합니다. 다중 스케일 파손에서는 균열 발생 및 전파, 소성, 국부 손상과 같은 현상이 발생하기 때문에 미시적인 재료 결함부터 거시적인 구조적 파손까지 다양한 스케일의 모델링이 필요합니다.

따라서 X-FEM을 검토하고 시뮬레이션하는 것은 이러한 문제를 시뮬레이션하기 위한 필수 조건 중 하나입니다. 본 논문에서는 이론의 일부와 Abaqus(Abaqus XFEM)에서 이 중요한 모델을 사용하는 방법을 소개하고자 합니다.

What is XFEM?

X-FEM을 정의하는 것부터 시작해 보겠습니다. X-FEM은 확장 유한 요소법(Extended Finite Element Method)의 약자입니다. "확장"이라는 용어는 특히 균열 전파 시뮬레이션을 위해 기존 유한 요소법을 개선한 것을 의미합니다.

그렇다면 왜 기존 방식을 확장해야 할까요? 균열은 유한요소해석에서 변위, 온도, 자속 등을 근사하는 데 사용되는 함수에 불연속성을 발생시킵니다. 따라서 향상된 접근 방식이 필요합니다. X-FEM은 균열 및 전위 모델링에 특히 유용한데, 단위 분할(PU) 방식을 사용하여 근접장 해석을 통합하여 거친 메시에서도 정확도를 향상시킵니다.

X-FEM은 나노 역학, 기공 성장, 계면 거동과 같은 현상을 소규모에서 연구하는 데 유용합니다. 이를 통해 재료 관련 문제를 해결하는 FEM의 능력이 크게 향상되었습니다.

X-FEM의 주요 응용 분야는 다음과 같습니다.

• 선형 탄성 파괴 역학 (LEFM)
• 결합력 있는 파괴 역학(Abaqus 응집력 있는 행동)
• 복합재료 그리고 불균일성
• 가소성(Abaqus 가소성), 손상 및 피로 해석
• 전단대 위치 파악
• 유체-구조 상호작용
• 파쇄된 유체 흐름 다공성 매체
• 일반 유체 역학
• 상전이 및 응고
• 열 및 열기계적 문제
• 접시와 조개
• 연락처 문제
• 토폴로지 최적화
• 압전 및 자기-전기탄성 문제
• 다중 스케일 모델링

X-FEM은 새로운 가능성을 열어 FEM을 다양한 엔지니어링 과제에 더욱 효과적으로 적용할 수 있게 해줍니다.

참고: 골절 및 골절 분석에 대해 자세히 알고 싶으시다면 전체 가이드를 참조하세요.“Abaqus Crack 및 파괴 분석: 원리, 응용 및 방법“

What is the difference between FEM and XFEM?

유한요소법(FEM)은 편미분 방정식의 근사해를 구하는 데 사용되는 강력한 도구로, 여러 공학 분야에서 필수적입니다. 항공우주부터 토목공학, 생체역학, 재료과학에 이르기까지 FEM은 구조물과 시스템의 거동을 모델링하고 예측하는 데 도움을 줍니다.

FEM은 미분 방정식을 직접 푸는 대신, 이를 변분 형태로 변환하여 복잡한 문제를 요소(element)라고 불리는 작고 관리하기 쉬운 조각으로 나눕니다. 이러한 요소들은 메시(mesh) 형태로 연결되며, 각 요소는 국소 다항식 근사값으로 표현됩니다.

유한요소법(FEM)의 주요 장점은 복잡한 경계를 처리할 수 있다는 점이지만, 몇 가지 한계도 있습니다. 예를 들어, 해가 매끄러울 때는 가장 효과적이지만, 급격한 기울기, 특이점(응력장 등), 또는 불연속점(균열 등)을 다룰 때는 계산이 복잡해지고 정확도가 떨어질 수 있습니다.

균열이 존재하는 경우, FEM 해석은 종종 균열 끝부분 근처의 메시를 미세 조정해야 하는데, 이는 자유도를 증가시키고 3D 모델에서 까다로울 수 있습니다. 또한, 점진적인 균열 성장을 시뮬레이션하려면 빈번한 메시 재조정이 필요하며, 이는 비용이 많이 들고 결과의 정확도에 영향을 미칠 수 있습니다.

이러한 어려움에도 불구하고, 유한요소법(FEM)은 엔지니어링의 초석으로 남아 있으며, 복잡한 문제 해결에 있어 탁월한 다재다능함과 정밀성을 제공합니다. 따라서 고전적인 유한요소법은 파괴역학 문제를 해결하는 데 한계에 도달했습니다.

그림 1: FEM과 X-FEM의 차이점 [참조]

FEM이 야기하는 문제점을 극복하기 위한 새로운 방법이 제시되었습니다. 1999년 돌보(Dolbow)가 개발한 확장 유한요소법(X-FEM)은 단위분할(partition of unity)을 사용하여 특수 함수를 이용한 유한요소 근사치를 향상시킵니다. 이 설정을 사용하면 헤비사이드 계단 함수와 같이 연속적이지 않은 함수를 사용하여 균열을 모델링할 수 있으며, 균열 자체를 명시적으로 메시할 필요가 없습니다(그림 1 참조).

Theory of XFEM

확장 유한 요소법(XFEM)은 메시에 맞춰 해석할 필요 없이 도메인 내의 조인트와 균열을 모델링하기 위해 2000년대 초반에 도입된 새로운 수치 기법입니다.

이 방법은 단위 분할(partition of unity) 개념을 기반으로 하며, 이를 통해 표준 유한 요소 근사값에 요소 내 불연속적 또는 특이적 거동을 포착하는 추가 함수를 "강화"할 수 있습니다. 이러한 향상 기능은 균열 경로가 미리 정의되지 않았거나 메시 경계와 일치하지 않는 문제, 예를 들어 임의의 균열 전파 및 상호작용 시뮬레이션에 특히 유용합니다.

그림 2: X-FEM 균열 해제의 예

이 섹션에서는 확장 유한 요소법(X-FEM) 이론을 소개하게 되어 기쁩니다! 먼저 재료 계면을 이해하는 데 도움이 되는 풍부화 함수(enrichment function) 개념을 살펴보겠습니다. 그 후, 두 섹션에 걸쳐 X-FEM 모델에서 균열 전파를 심층적으로 살펴보겠습니다. 마지막으로 수치 X-FEM에 대해 간략히 살펴보겠습니다. 다음 섹션에서는 두 가지 실제 사례를 통해 XFEM Abaqus를 적용하는 방법을 살펴보겠습니다. 자, 시작해 볼까요!

Enrichment Functions

강화 함수는 FEM에 터보 부스트를 부여하는 것과 같아 메시를 완전히 수정하지 않고도 복잡한 문제를 해결할 수 있도록 합니다. 강화 함수가 무엇이고, 왜 중요한지, 그리고 어떻게 작동하는지 이해하기 쉽게 살펴보겠습니다!

강화 함수는 균열이나 다양한 재료와 같은 특징을 처리하는 데 도움이 되는 유한 요소법(FEM) 프레임워크에 추가하는 편리한 수학 도구입니다. 표준 FEM으로는 놓칠 수 있는 중요한 세부 사항을 볼 수 있도록 도와주는 특수 렌즈와 같습니다. 이러한 강화 함수를 통해 확장 유한 요소법(XFEM)은 재료의 파손이나 급격한 변화와 같은 문제를 더욱 효과적으로 처리할 수 있습니다.

주요 아이디어는 다음과 같습니다.

재료에 균열이 생기면 변위가 급격히 증가하여 불연속성이 발생합니다. 또한, 균열 끝부분에서는 응력이 매우 높아질 수 있는데, 이를 특이점(singularity)이라고 합니다. 표준 유한요소법(FEM)으로는 이러한 상황을 처리하기 어려울 수 있지만, XFEM은 강화 함수를 사용하여 이러한 상황을 원활하고 효과적으로 처리할 수 있습니다. 이제 문제는 XFEM이 어떻게 작동하는가입니다. 다음과 같이 시작해 보겠습니다.

기존 FEM에서는 변위 유(x) 어느 시점에서든 엑스 근처 노드의 기여도를 합산하여 계산됩니다.

여기:

• Ni​(x): 형상 함수(변위가 어떻게 변하는지 결정).
• ​: 변위  -번째 노드.

XFEM은 더욱 복잡한 동작을 포착하기 위해 추가 용어를 추가합니다.

이러한 맥락에서,  는 형상 함수를 나타냅니다. th 노드. 집합  도메인 내의 모든 노드를 포함하지만  강화된 노드 집합을 나타냅니다. 용어  그리고  표준 자유도와 (자유도)의 집합을 나타냅니다. 아시다시피, 강화 자유도는 표준 유한요소해에 추가된 강화 함수와 관련된 새로운 변수입니다. 이러한 자유도를 통해 모델은 영역 내 특정 위치에서 발생하는 불연속성(예: 균열)의 영향을 고려할 수 있으며, 이는 해당 불연속성이 유한요소 경계와 일치하지 않더라도 마찬가지입니다.

Φ(엑스): 특수 함수(점근적 균열 끝 함수 등)는 균열 끝 근처의 특이 응력장을 모델링합니다.

XFEM에서 가장 일반적으로 사용되는 농축 함수 중 하나는 헤비사이드 함수(Heaviside function)로, H(x)로 표기합니다. 헤비사이드 함수는 불연속면을 가로지르는 변위장에 점프를 생성하는 수학적 도구입니다. 즉, 균열이나 계면에서 발생하는 급격한 변위 변화를 표현할 수 있습니다.

헤비사이드 함수는 해당 지점이 균열의 한쪽에 있는지 다른 쪽에 있는지에 따라 켜지거나 꺼지는 스위치라고 생각해 보세요. 균열의 한쪽에서는 변위장이 값이 되고, 다른 쪽에서는 다른 값이 됩니다. XFEM은 변위의 이러한 "점프"를 사용하여 메시를 변경하지 않고도 균열을 정확하게 모델링합니다.

예를 들어, 아래 그림(그림 3)에서 볼 수 있듯이 균열은 요소와 교차합니다. 헤비사이드 강화(Heaviside enrichment) 덕분에 XFEM은 균열이 메시 선과 일치하지 않더라도 균열을 가로지르는 변위 점프를 고려할 수 있습니다.

그림 3: 노드의 Heaviside 농축 [참조]

구성 요소의 불연속성을 정확하게 표현하기 위해 헤비사이드 함수를 사용합니다. 이 함수는 균열(또는 절점)의 각 면을 미분하며 다음과 같이 정의됩니다.

그림 4: 요소를 절단하는 헤비사이드 함수

좌표(x, y)는 균열을 기준으로 하는 국소 좌표계를 사용하여 영역 내 임의의 지점의 위치를 나타냅니다. 균열이 요소를 관통하는 상황을 상상해 보세요(그림 4 참조). 헤비사이드 함수는 균열로 인해 발생하는 불연속면을 모델링하는 데 사용됩니다. 이 함수는 균열의 한쪽에는 +1, 다른 쪽에는 -1의 값을 할당하여 XFEM이 불연속면의 위치를 정확하게 파악할 수 있도록 합니다. 이 정보는 변위장을 수정하여 균열을 정확하게 표현합니다.

이 방법론은 도메인 내의 여러 균열(또는 절점)을 처리하도록 쉽게 확장될 수 있습니다. 메시의 각 요소는 네 개의 노드를 가지며, 요소의 노드가 균열과 교차할 때마다 해당 노드에서 해의 정확도를 높이기 위해 강화 함수를 사용합니다. 그러나 두 개의 균열(또는 절점)이 교차하는 경우, 균열 간의 상호 작용을 정확하게 모델링하기 위해 추가적인 고려 사항이 필요합니다.

균열 쌍이 교차하는 세 가지 주요 시나리오가 있으며, 다음 그림은 이러한 상호 작용을 보여줍니다.

그림 5: (a) 완전히 교차된 (b) 반 교차된 (c) 끝 교차된 [에 대한 함수의 세 가지 경우참조]

그림 5-a와 같이 두 균열이 완전히 교차하는 경우, 각 균열에 대한 헤비사이드 함수의 곱을 사용하여 두 균열 간의 상호작용을 정의할 수 있습니다. 이는 𝐽(𝑥) = 𝐻₁(𝑥) * 𝐻₂(𝑥)로 표현되며, 여기서 𝐻₁과 𝐻₂는 각 균열에 대한 헤비사이드 함수입니다. 이 결합 함수는 균열이 교차하는 요소 내 네 개의 뚜렷한 영역을 생성합니다. 이 시나리오에서 요소 내의 모든 노드는 두 균열 모두에 대해 개별 헤비사이드 풍부도를 유지합니다. 또한, 함수(Φ (𝑥))는 교차점을 설명하기 위해 이러한 노드에 추가적인 풍부함을 제공합니다.

균열 중 하나가 1차 균열로 간주되면 다른 균열은 2차 균열이라고 합니다. 이 경우, 주요 절리의 헤비사이드 풍부화는 유지되고, 1차 균열의 풍부화는 제거됩니다.

세 번째 시나리오에서 두 균열이 모두 동등하게 처리되면 두 Heaviside 농축이 모두 삭제되고 함수(Φ (𝑥)) 풍부함은 두 균열 사이의 상호 작용을 나타내기 위해 유지됩니다.

변위장에 H(x)와 Φ(x)를 추가함으로써 XFEM은 리메싱 없이 균열과 특이점을 모델링할 수 있게 됩니다. 이는 마치 표준 도구를 특수한 문제를 처리할 수 있는 특수 도구로 업그레이드하는 것과 같습니다.

전체 변위 근사치는 다음과 같습니다.

u(x)=(표준 FEM 부분)+(균열에 대한 헤비사이드 농축)+(특이점에 대한 균열 끝 농축)

이러한 특성은 두 가지 서로 다른 재료가 만나는 경계인 재료 계면에서 가장 잘 드러납니다.

Material Interfaces

복합 재료와 마찬가지로 다상 재료는 각각 전체적인 기계적 거동에 기여하는 여러 상으로 구성됩니다. 이러한 상들이 만나는 계면은 재료가 응력을 받을 때 분리되거나 균열이 발생하기 쉽기 때문에 매우 중요합니다. 기존의 유한 요소법(FEM)은 이러한 계면을 모델링할 때 복잡한 메시 조정을 통해 거동을 정확하게 포착해야 하는 경우가 많기 때문에 어려움을 겪습니다. 확장 유한 요소법(X-FEM)은 레벨 설정법과 결합하여 더욱 효율적인 솔루션을 제공합니다. X-FEM을 사용하면 메시를 변경하지 않고도 계면을 모델링할 수 있습니다. 레벨 설정법을 사용하면 X-FEM은 이러한 계면을 암묵적으로 표현합니다. 다음과 같은 함수 ϕ(x)를 생각해 보세요.

이 정의는 도메인을 여러 영역으로 분할하여 점이 어떤 재료에 속하는지 쉽게 식별할 수 있도록 합니다. 영점 윤곽선(ϕ=0)은 실제 계면을 나타냅니다. 이 함수를 더 자세히 설명해 보겠습니다. 레벨 집합 함수는 계면을 스칼라 함수의 영점 집합으로 정의하여 기본 메시를 수정하지 않고도 복잡하고 진화하는 형상을 모델링할 수 있도록 합니다. 이 접근법은 메시 미세화에 따른 계산 복잡성 없이 재료의 균열이나 상 경계를 처리하는 데 특히 유용합니다.

이러한 함수는 메시 구조에 의존하지 않고 균열이나 분리와 같은 계면에서의 약한 불연속성과 강한 불연속성을 모두 포착하도록 설계되었습니다. 계면을 따라 분리나 균열이 발생할 경우, 응집대 모델(CZM)을 사용하여 계면을 가로지르는 견인력(힘)과 변위 점프 간의 관계를 설명합니다(CZM이란 무엇일까요? 나중에 설명하겠습니다). 구체적으로, 견인력-분리 법칙( 견인-분리 법칙 하중 조건 하에서 균열이나 재료 경계와 같은 계면의 거동을 모델링하는 데 사용되는 기본 개념으로, 종종 지수 함수적으로 표현됩니다. 이 법칙은 균열이 벌어지거나 커질 때 응력 분포를 제어하여 균열 거동의 수직(수직) 및 접선(전단) 성분을 모두 정확하게 포착합니다. 이를 통해 응집대 모델은 균열의 시작과 성장을 포함하여 재료의 파괴를 사실적으로 표현합니다.

Crack Cohesive Model

먼저, 균열 응집력 모델이 무엇인지 알아보겠습니다. 이 방법은 복합재의 응집력 균열 성장에 대한 수치 시뮬레이션에서 매우 빛을 발합니다! 다양한 메시 구성을 사용하더라도 뛰어난 성능을 보여줍니다. 응집력 영역과 도메인에 대한 적분을 개별적으로 신중하게 처리하여 균열의 거동을 정확하게 추적할 수 있습니다. 이는 메시를 수정하거나 다른 조정 없이 응집력 균열이 원활하게 성장하도록 하는 데 매우 중요합니다.

그림 6: 복합재의 응집성 균열 성장 [참조]

 그림 6은 응집력 모델의 작동 방식을 보여줍니다. 보시다시피, 응집력은 균열이 완전히 진전되기 전에 재료의 내부 저항(응집력)이 존재하는 균열 선단 근처의 작은 영역입니다. 재료는 균열이 발생하자마자 즉시 파괴되거나 분리되는 것이 아니라, 응집력 영역에서 점진적인 열화 과정을 겪습니다. 이 영역에서 재료는 두 가지 특성을 모두 보입니다. 스트레스 (균열이 열리는 것을 저항하고) 부담 (분리 과정에서 재료의 변형과 관련됨).

그래서 균열 응집 모델 균열 시작 및 전파를 시뮬레이션하는 데 사용되는데, 이는 균열 선단 앞부분, 즉 재료가 여전히 분리에 저항하는 영역인 응집 영역 내에서 재료의 거동을 모델링하는 것입니다. 이 모델은 견인력(응력)과 분리력(변위) 간의 관계를 정의하고 균열 전파에 대한 파괴 기준을 포함하는 응집 법칙에 의해 제어됩니다. 이러한 접근법은 특히 복합 재료, 접착제 및 기타 이종 재료의 재료 파괴를 시뮬레이션하는 데 필수적입니다.

마지막으로, 응집 영역 모델을 확장 유한 요소법(X-FEM)에 통합하면 균열 성장 및 재료 파괴를 매우 정확하게 시뮬레이션할 수 있습니다. X-FEM은 기존 메시 내에서 균열이 원활하게 전파되도록 하여 메시를 다시 생성할 필요가 없습니다. 이러한 기능은 동적 균열 진화를 촉진하는 동시에 계산 효율성과 정밀도를 보장합니다.

Multiple cracks and crack nucleation

토목 및 항공우주 공학과 같은 분야에서는 재료에 발생하는 다중 균열을 처리하는 것이 매우 중요합니다. 이러한 분야에서는 재료가 복잡한 응력 조건을 자주 겪습니다(그림 7).

그림 7: 균열 분기의 예

구조가 없는 재료 내의 공극(void)에 관해서 X-FEM은 다음과 같은 고유한 기능을 사용합니다. 농축 기능, 라벨이 붙은 V(x). 이 기능은 켜기/끄기 스위치처럼 작동하여 재료가 있는 영역과 없는 영역을 구분할 수 있습니다.

작동 원리는 다음과 같습니다.

• 재료 내부: 구조의 단단한 부분에 있을 때 V(x)= 1입니다.
• 공허함 속에서: V(x)=0은 공극이 있는 곳으로, 효과적으로 메시에서 해당 부분을 제거합니다.

공극 근처의 노드의 형상 함수를 곱하여 V(x), 우리는 그 영향을 재료 영역으로만 축소하여 계산을 더욱 정확하고 효율적으로 만듭니다. 노드가 완전히 보이드(void) 내에 있는 경우, 해당 노드의 자유도는 제거되거나 0으로 설정되므로 불필요한 계산이 줄어듭니다.

여러 경로로 갈라지거나 서로 교차하는 균열은 모델링하기 까다로울 수 있지만(그림 6), X-FEM의 접근 방식은 불연속적인 풍부화 함수를 사용하여 이를 쉽게 처리할 수 있습니다. 이러한 함수는 FEM 메시에 유연성을 더하여, 메시 자체를 손상시키지 않고 균열이 재료를 관통하도록 합니다.

분기 균열을 처리하기 위한 주요 구성 요소는 다음과 같습니다.

1. 불연속 함수: 각 균열에 대해 함수가 있습니다., H(x), 균열 전체에 걸쳐 명확한 불연속성을 정의합니다. 균열이 갈라지거나 교차할 때, 우리는 다음과 같은 더 많은 기능을 추가합니다. 시간_나(엑스) 그리고 시간_2세(엑스) 각 세그먼트를 별도로 처리합니다.
2. 접합 함수 제이(x): 균열이 만나는 지점에서는 특수 접합 함수를 사용합니다. 이 함수는 균열의 각 가지가 교차점에서 독립적이고 정확하게 거동하도록 하여 복잡한 영역의 응력 분포에 대한 현실적인 모델을 제공합니다.

Numerical Integration

X-FEM에서 균열(또는 다른 불연속점)과 교차하는 요소는 균열 주변의 변위장을 정확하게 포착하기 위해 특별한 주의가 필요합니다. 그러나 균열 형상이 메시와 일치하지 않기 때문에 이러한 요소에 대한 표준 적분은 특히 균열 경로 근처에서 부정확성을 초래할 수 있습니다. X-FEM은 이러한 절단된 요소를 더 작은 하위 요소로 세분화함으로써 균열 표면의 불연속점을 고려하여 각 영역 내에서 농축 함수의 더욱 정밀한 적분을 달성합니다.

X-FEM 함수를 적분하는 데는 균열을 따라 발생하는 불연속성과 균열 선단의 특이점이라는 두 가지 주요 과제가 있습니다. 절단 요소의 수치 적분을 해결하기 위해 이를 표준 하위 요소로 분할하는 것이 일반적입니다. 이러한 하위 요소 내에서 정확한 결과를 얻으려면 고차 가우스 구적법 규칙을 사용해야 합니다. 이 접근법은 절단 요소의 각 변을 삼각형으로 분할하여 하위 삼각형 집합을 생성하는 것입니다. 그러나 일부 연구자들은 절단 요소를 하위 사각형으로 분할하기 위해 약간 다른 방법을 선택했습니다(그림 8).

그림 8: 표준 하위 요소로 분할하는 방법 [참조]

균열에 의해 교차되는 요소에 대한 수치적 적분 절차는 다음과 같습니다.

1. Delaunay 삼각형을 구성하여 하위 요소를 만듭니다.

계산 기하학에서 이 방법은 도메인 전체에 삼각형(3D에서는 사면체) 네트워크를 생성하여 수치 계산의 안정성과 정밀도를 보장합니다. 이 기법은 구조물 내 균열과 같은 불연속성을 정확하게 모델링하는 데 필수적입니다. 이 과정은 균열이 교차하는 "절단 요소"를 식별하는 것으로 시작됩니다. 이러한 요소들은 균열의 기하 구조를 더욱 정확하게 포착하기 위해 더 작은 부분으로 세분화되어야 합니다.

들로네 삼각분할은 이러한 절단 요소를 일반적으로 2D 삼각형과 같은 더 작은 하위 요소로 나눕니다. 이렇게 정교화된 하위 요소 네트워크는 단일 절단 요소 내에서도 균열 경로를 면밀히 추적하여 더욱 정확한 적분을 가능하게 합니다. 그런 다음 각 하위 요소 내에 적분점을 전략적으로 배치하여 강성 행렬과 힘 벡터를 평가하는 데 필수적인 가우스 구적법을 수행합니다. 이러한 배치는 균열의 정확한 위치를 반영하여 X-FEM의 농축 함수가 불연속면의 거동을 정확하게 포착할 수 있도록 합니다.

2. 각 하위 요소에 대해 가우스 점의 좌표와 가중치를 계산한 다음 이를 원래 요소의 부모 좌표계로 변환합니다.

X-FEM에서 유한 요소가 균열과 교차하는 경우, 각 영역의 고유한 특성을 포착하기 위해 더 작은 하위 요소로 세분화됩니다. 가우스 점은 가우스 구적법을 사용하여 각 하위 요소 내에 전략적으로 배치되며, 각 가우스 점을 균열의 특정 형상에 맞춰 정렬함으로써 이러한 불규칙한 "절단 요소"에 대한 정밀한 적분을 가능하게 합니다. 이러한 국소적 적분 방식을 통해 X-FEM은 미세 메시나 리메싱 없이도 균열 영역 주변에서 높은 정확도를 달성할 수 있으며, 복잡한 균열 전파를 효율적으로 처리하는 동시에 계산 부담을 관리 가능한 수준으로 유지할 수 있습니다.

XFEM Abaqus | Abaqus XFEM Tutorial

Abaqus는 XFEM의 강화 함수를 활용하여 균열로 인해 발생하는 불연속성을 정확하게 모델링합니다. 이러한 강화 함수에는 균열 표면의 변위 점프를 포착하는 헤비사이드 함수와 균열 선단의 응력 특이점을 나타내는 근단 함수가 포함됩니다. 이러한 함수들은 균열 주변의 응력장과 변형을 시뮬레이션하는 모델의 성능을 향상시켜 복잡한 형상에서도 매우 정확한 결과를 제공합니다. 또한, XFEM Abaqus는 XFEM 해석에서 응집력 거동을 지원하여 사용자가 현실적인 균열 발생 및 전파를 통해 재료 분리 및 파괴 과정을 모델링할 수 있도록 지원합니다. 이는 특히 취성 재료 또는 복합 재료에 유용합니다.

다음에서는 2D와 3D 사례에서 Abaqus XFEM 균열 시뮬레이션을 단계별로 수행하는 방법을 살펴보겠습니다(Abaqus XFEM 튜토리얼).

2D Static Edge Crack

X-FEM을 사용한 2차원(2D) 정적 모서리 균열 분석은 파괴 역학에서 널리 사용되는 접근 방식으로, 특히 모서리에서 균열이 발생하기 쉬운 재료와 구성 요소에 사용됩니다.

이렇게 설명해 보겠습니다. 정적 균열 모델에서는 균열이 정지해 있는 것으로 간주하여 균열 성장의 복잡성을 증가시키지 않고 기존 균열 주변의 응력, 변형률 및 변위장을 분석하는 데 집중합니다. 이러한 접근 방식은 형상과 메시가 고정되어 균열 전파 방향, 성장 간격 또는 형상 업데이트를 결정할 필요가 없으므로 문제를 단순화합니다. 엔지니어는 종종 정지 균열 모델을 사용하여 정적 하중 하에서 구조적 건전성을 평가하고 균열이 전파될 수 있는 중요한 조건을 파악합니다. 이를 통해 응력 확대 계수(SIF), 균열 선단 응력 분포 및 변형을 더 잘 이해할 수 있어 동적 모델링의 계산 오버헤드 없이 안전을 확보하는 데 도움이 됩니다.

또한, 정상 균열 모델은 균열이 성장하지 않는다는 가정 하에 응력 강도 계수와 에너지 방출률에 대한 해를 도출하는 파괴역학 원리와 일치합니다. 이러한 해는 Abaqus XFEM과 같은 수치 해석을 동적 시나리오로 확장하기 전에 검증하는 데 중요한 기준이 됩니다. 균열 전파 모델은 적용 하중이 재료의 파괴인성을 초과하거나 반복 및 피로 조건에서만 필요합니다. 대부분의 초기 해석에서 정상 모델은 균열이 구조물에 즉각적인 위협을 가하는지 또는 주어진 조건에서 안정적으로 유지되는지에 대한 통찰력을 효과적으로 제공합니다.

균열은 구조물의 가장자리를 따라 위치하며, 종종 균열 선단에 응력 집중을 유발하는 하중 조건에 노출됩니다. 이제 XFEM Abaqus 균열 시뮬레이션을 단계별로 수행하는 방법을 살펴보겠습니다.

메모: Abaqus에 입력된 모든 값은 SI 단위계(m, Pa, …)로 표시됩니다.

• 기하학

먼저 부품을 만드는 방법을 살펴보겠습니다. 금이 가다: Abaqus를 열고 Part 모듈로 이동합니다. "Create Part" 도구를 클릭하여 열고 Part 이름을 "Plate"로 지정합니다. 모델링 공간은 "2D Planar"로, 유형은 "Deformable"로, 기본 피처는 "Shell"로 설정하고, 대략적인 크기는 5로 설정합니다(그림 9). Rectangle 도구를 사용하여 좌표 (-2, -2)에서 (2, 2)까지 정사각형을 그린 후 "Done"을 클릭합니다.“

그림 9: 부품 생성

다음으로, 균열 형상도 생성해야 합니다. "파트 생성" 도구를 다시 클릭합니다. 파트 이름을 "균열"로 지정하고, 모델링 공간을 2D 평면으로, 유형을 변형 가능으로, 기본 피처를 와이어로, 대략적인 크기를 5로 설정합니다. 좌표 (-2, 0)에서 (-1, 0)까지 균열 선을 그린 후 "완료"를 클릭합니다(그림 10).

그림 10: 크랙된 도메인 생성

• 재료 특성

다음으로, 그림 11에 따르면 재료의 탄성 특성을 입력하고 탄성계수를 70 GPa, 포아송 비를 0.33으로 설정해야 합니다.

그림 11: 재료 적용

그 후에는 손상 적용 방법을 명시해야 합니다. 앞서 언급했듯이, 재료의 응집 거동을 모델링하는 모델 중 하나는 "견인 분리 법칙에 따른 손상"입니다. 손상 적용 방법은 그림 12에 나와 있습니다.

그림 12: 손상 속성 적용

기계 > 견인 분리 법칙에 대한 손상 > 최대 하중 손상(그림 12)으로 이동하여 500 MPa를 입력합니다. "하위 옵션"에서 "손상 진행"을 선택하고 "파괴 시 변위"를 1로 설정합니다. "확인"을 클릭하여 확인합니다.

그림 13에서 볼 수 있듯이, 샘플에 대한 섹션을 생성하고, 재료를 "알루미늄"으로 설정하고, 두께를 1로 설정한 "평면 응력/변형률 두께"를 활성화해야 합니다.

그림 13: 적용 섹션

 그런 다음 "섹션 할당" 도구를 클릭하고 도메인을 선택한 다음 "완료"를 클릭하여 섹션을 플레이트에 할당합니다.

• 집회

다음으로, 그림 14에 따라 균열을 원하는 위치에 놓기 위해 판과 균열을 조립해야 합니다. 두 부품 모두 원하는 위치에 정확히 배치되는 좌표로 생성했으므로 조정할 필요가 없습니다. 따라서 조립 모듈로 이동하여 두 부품의 인스턴스를 만들고 기본 설정을 그대로 사용합니다. 

그림 14: 조립 섹션

• 단계

이제 분석을 위한 단계를 생성해야 합니다. 단계 모듈로 이동하여 "정적, 일반" 단계를 생성하고 기본 설정을 적용합니다. 다음으로, "필드 출력 관리자" 도구를 클릭하고 "편집" 버튼을 클릭한 후 "고장/파괴" 출력 변수를 확장하고 그림 15에서 해당 변수에 체크 표시를 합니다.

그림 15: 출력 변수 설정

• 상호 작용

이제 크랙을 정의해야 합니다. 이를 위해 Interaction 모듈로 이동하여 상단의 "Special" 메뉴를 열고 그림 16과 같이 XFEM 크랙을 정의합니다. "Special" > "Crack" > "Create"로 이동하여 이름을 "EdgeCrack"으로 지정하고 유형을 XFEM으로 설정합니다(그림 16). "Continue"를 클릭하고 크랙 영역을 선택해야 합니다. 이 경우 전체 모델을 선택해야 합니다. 다음으로 "Crack location" 옵션을 선택하고 마우스 커서 아이콘을 클릭한 후(그림 17) 크랙 선을 선택하고 "Done"을 클릭합니다. 이제 XFEM Abaqus 크랙이 성공적으로 정의되었습니다. 

그림 16: 소프트웨어의 균열을 할당하는 방법

그림 17: 균열 위치 정의

이 섹션의 마지막 단계는 균열과 판 사이의 상호 작용을 정의하는 것입니다. "상호 작용 생성" 도구를 클릭하고 "초기 단계"를 선택한 후, "XFEM 균열 성장" 유형을 선택하고, XFEM 균열이 "EdgeCrack"으로 설정되어 있는지 확인한 후 "확인"을 클릭하여 마무리합니다.

• 경계 조건 및 하중

하중 모듈로 이동합니다. 먼저 그림 18에 따라 경계 조건을 설정합니다. 오른쪽 하단 지점은 고정되어야 하며(U1 = U2 = UR3 = 0), 꼭짓점 상단 모서리는 U1 = UR3 = 0이어야 합니다. 그런 다음 상단과 하단 모서리 모두에 압력 하중을 적용합니다. 크기는 100000, 즉 100KPa입니다.

그림 18: 경계 조건 및 하중

• 망사

플레이트에 메시를 적용하려면 "플레이트"를 확장하고 "메시"를 선택하세요. "시드 > 번호별 모서리"를 선택하고 각 모서리의 요소에 41을 입력한 후 "완료"를 클릭하세요(그림 19).

그림 19: 메시 시드 적용

그림 20은 메싱 제어 방법을 보여줍니다.

그림 20: 메시 컨트롤

• 직무 및 결과

작업을 생성하고 시뮬레이션을 실행한 후 결과를 확인할 차례입니다. 폰 미제스 응력 등고선도를 확인하고 균열 분리를 확인하려면 변형 스케일 계수를 증가시키세요(그림 21).

그림 21: XFEM 균열 결과

아래 예를 통해 XFEM Abaqus의 기술을 향상시킬 수 있습니다.

아바쿠스 XFEM 콘크리트 슬래브의 3차원 균열 성장 시뮬레이션

압력 용기의 균열 성장 시뮬레이션 아바쿠스 XFEM

3D Static Edge Crack

3D 형상과 균열 위치를 정의하려면 직사각형 블록이나 판과 같은 솔리드 모델을 생성합니다. 이 균열은 하중에 평행하거나 수직으로 배치된 고정 모서리 형상으로 모델링되어 구조 하중 조건에서 균열 거동을 사실적으로 시뮬레이션합니다. 다음 예시는 X-FEM(XFEM Abaqus)을 사용하여 Abaqus에서 3D 모드로 균열 성장을 시뮬레이션하는 것입니다.

해석을 시작하려면 Abaqus/CAE를 열고 주요 부품을 생성하세요. 먼저 부품(Parts)으로 이동하여 두 번 클릭하여 대화 상자를 엽니다. 부품 이름을 Solid로 지정하고, 모델링 공간(Modeling Space)을 3D로, 유형(Type)을 변형 가능(Deformable), 베이스 피처(Base Feature)를 Solid로 설정하고, 대략적인 크기(Approximate Size)를 5로 설정합니다(그림 22). "계속(Continue)"을 클릭합니다. "사각형 도구(Rectangle Tool)"를 사용하여 좌표 (-2, -2)에서 (2, 2)까지 정사각형을 그리고 "완료(Done)"를 클릭합니다. 깊이(Depth)를 4로 입력하여 3D 솔리드를 완성하고 "확인(OK)"을 클릭합니다.

그림 22: 주요 부분 만들기

다음으로, 재료를 두 번 클릭하고 이름을 Aluminum으로 지정하여 재료를 정의합니다.기계에서 탄성 > 탄성으로 이동하여 영률을 70 GPa, 포아송 비를 0.33으로 설정합니다.손상 기준의 경우, 견인 분리 법칙에 대한 손상 > Maxps 손상으로 이동하여 손상 시작 값을 500 MPa로 설정합니다.하위 옵션에서 손상 진행을 선택하고 파괴 시 변위를 1로 입력합니다(그림 12).확인을 클릭합니다.그런 다음 단면에서 두께가 1인 재질로 Aluminum을 사용하여 Main이라는 단면을 만들고 이를 Solid 부품에 적용합니다.시드 > 번호별 모서리를 선택하고 각 모서리를 따라 21개 요소를 설정한 다음 메시 제어를 Hex, Structured로 설정하여 메시를 설정합니다.메시 > 부품을 선택하고 예를 클릭하여 메시 설정을 완료합니다.

균열 영역(균열 부분)을 정의하려면 파트로 돌아가서 Crack이라는 새 파트를 만듭니다. 모델링 공간을 3D 평면으로, 유형을 변형 가능으로, 베이스 피처를 셸로 설정하고, 돌출을 선택한 후 대략적인 크기를 5로 설정합니다. (-2, 0)에서 (-1, 0)까지 선을 그리고 깊이를 4로 설정합니다. 어셈블리에서 Crack을 선택하고 확인을 클릭하여 균열 인스턴스를 추가합니다. 균열을 활성화하려면 상호 작용 > 특수 > 균열 > 생성으로 이동하여 이름을 EdgeCrack으로 지정하고 유형을 XFEM으로 설정합니다(그림 16 참조).

마지막으로, 2D 경우와 마찬가지로 경계 조건을 적용하고, Job 모듈에서 메시를 만들고 풀이한 후, 그림 23에서 보듯이 균열 끝부분 영역에서 응력 집중이 보이고, 모델이 시뮬레이션됩니다.

그림 23: 3D XFEM Abaqus 균열 모델

또한, 3D Abaqus XFEM에 대한 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

튜브 내 3D 균열 시뮬레이션

3D 균열 성장

결론

고급 엔지니어링 시뮬레이션에서 균열, 균열 또는 불연속성이 발생하는 재료를 처리하는 것은 상당한 어려움을 야기합니다. 기존의 유한요소법(FEM)은 복잡한 메시 조정이 필요하기 때문에 복잡한 균열을 모델링하는 데 어려움을 겪는 경우가 많습니다. 이러한 한계로 인해 이러한 문제를 해결하기 위한 개선된 접근 방식인 확장 유한요소법(XFEM)이 개발되었습니다.

확장 유한요소법(XFEM)은 기존 유한요소법(FEM)에 특화된 강화 함수를 통합하여 구축되었습니다. 이러한 함수는 재료의 균열과 불연속성을 더욱 유연하게 표현할 수 있도록 합니다. 결과적으로 XFEM은 균열 경로에 완벽하게 정렬된 메시를 요구하지 않고도 균열을 모델링할 수 있어 시간을 절약하고 정확도를 향상시킵니다. Abaqus 소프트웨어에서 XFEM은 이러한 기능을 활용하여 손상 해석, 다상 재료 및 복잡한 파손 모델을 작업하는 사용자에게 효과적인 도구입니다.

이 블로그에서는 Abaqus XFEM의 핵심 개념과 응용 분야를 살펴보았습니다. FEM과 XFEM을 비교하여 XFEM이 균열 전파에 어떻게 향상된 기능을 제공하는지 살펴보았습니다. 본 글에서는 농축 함수, 응집 균열 시뮬레이션, 재료 계면을 포함한 XFEM의 기본 이론을 심층적으로 다룹니다. 실제 응용 사례에서는 2D 및 3D 균열 성장 시나리오 모델링에 대한 자세한 가이드를 통해 Abaqus XFEM이 엔지니어링 과제에 제공하는 강력한 시뮬레이션 기능을 보여줍니다. 

전문가 팁: 때로는 XFEM 방법도 충분하지 않습니다! 그렇다면 어떻게 해야 할까요? 답은 다음과 같습니다. 위상장 모델링.

그만큼 CAE 보조원 저희는 고객님의 모든 CAE 요구 사항을 충족하기 위해 최선을 다하고 있으며, 고객님의 피드백은 이러한 목표 달성에 큰 도움이 됩니다. 궁금한 점이 있거나 문제가 발생하면 WhatsApp을 포함한 소셜 미디어 계정을 통해 언제든지 공유해 주세요.

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보는 것이 도움이 될 것입니다 Abaqus 문서 Abaqus 시뮬레이션을 시작하기가 얼마나 어려운지 이해하려면 Abaqus 튜토리얼.