좌굴의 A부터 Z까지: 기둥 좌굴, 좌굴 방정식 등

좌굴은 어떤 힘을 받는 부품이 측면 방향으로 갑자기 변형될 때 발생하는 구조적 현상입니다. 이러한 측면 변형은 부품의 강성과 하중 지지력을 크게 감소시켜 의도된 목적을 달성하지 못하게 만드는 경우가 많습니다. 좌굴이 항상 재료 파괴를 수반하는 것은 아니지만, 엔지니어가 신중하게 해결해야 하는 중요한 불안정성입니다.

좌굴을 이해하고 분석하는 것은 구조 공학에서 매우 중요합니다. 기둥, 보, 가새와 같은 구조물의 안전과 성능에 직접적인 영향을 미치기 때문입니다. 좌굴이 발생하는 시점과 방식을 정확하게 예측하면 엔지니어는 더욱 안정적인 시스템을 설계할 수 있습니다. Abaqus와 같은 소프트웨어 도구는 좌굴 해석을 수행하는 데 매우 중요하며, 이러한 복잡한 거동을 정확하게 모델링할 수 있습니다.

이 블로그에서는 먼저 다양한 유형의 좌굴과 그 발생에 영향을 미치는 주요 요인을 살펴보겠습니다. 그런 다음 Abaqus를 사용하여 선형 및 비선형 좌굴 해석을 수행하는 방법을 단계별 예제와 함께 안내해 드리겠습니다. 이 블로그를 마치면 좌굴 거동에 대한 명확한 이해와 Abaqus를 효과적으로 사용하여 설계의 구조적 안정성을 확보하는 방법을 배우게 될 것입니다.

What is Buckling?

좌굴은 압축 하중이나 기타 하중을 받는 구조 부재가 갑작스러운 횡변형을 경험하는 구조적 불안정성의 한 유형을 말합니다. 이러한 변형은 부재의 강성을 크게 감소시키고 하중 지지 능력을 크게 감소시킬 수 있습니다. 이러한 현상은 반드시 재료의 항복이나 파괴로 이어지는 것은 아니지만, 그 이후에는 부재가 하중을 지지할 수 있는 능력을 상실하기 때문에 파괴 모드로 간주됩니다.

예를 들어, 좌굴은 기둥, 측면 하중을 받는 보와 같은 압축 부재에서 발생할 수 있으며, 심지어 굽힘이나 비틀림 하중을 받는 구조물에서도 발생할 수 있습니다.

그림 1: 좌굴의 묘사

Types of Buckling in Structural Engineering

좌굴은 하중 유형, 구조 부재의 형상, 경계 조건에 따라 다양한 형태로 나타날 수 있습니다. 구조물의 파괴를 정확하게 분석하고 예방하기 위해서는 다양한 좌굴 유형을 이해하는 것이 필수적입니다. 이 섹션에서는 다음과 같은 주요 좌굴 유형을 살펴보겠습니다.

Global buckling

이 용어는 압축 하중에 의한 횡변형으로 인해 구조 부재가 불안정해지고 파괴되는 현상을 의미합니다. 이러한 상태는 휨 좌굴, 비틀림 좌굴, 그리고 휨-비틀림 좌굴의 세 가지 형태로 나타날 수 있으며, 이에 대해서는 다음 절에서 자세히 설명합니다. 이 경우, 압축 응력으로 인해 구조물의 전반적인 횡안정성이 손상됩니다.

Flexural Buckling

이 유형은 굽힘으로 인한 변형이 특징이며, 일반적으로 세장비가 가장 큰 축, 즉 단면에서 가장 약한 축이나 회전 반경이 가장 작은 축을 중심으로 발생합니다. 형상에 관계없이 다양한 유형의 하중을 받는 부재는 이러한 형태의 좌굴을 경험할 수 있습니다.

그림 2: 굽힘 좌굴 [참조]

 Torsional Buckling

비틀림 좌굴은 구조 부재가 종축을 중심으로 비틀림으로 인해 파괴될 때 발생합니다. 이러한 파괴 모드는 단면 전체가 회전하거나 비틀리는 압축 하중을 받는 부재에서 흔히 발생합니다. 일반적으로 상당한 양의 비틀림 응력 성분이 존재하는 순수 압축 하중 하에서 발생합니다. 채널이나 앵글과 같은 개방 단면에서 가장 발생하기 쉽고, I-빔과 같이 비틀림 불안정성이 높은 조건에서는 이중 대칭 형상에서도 발생할 수 있습니다.

Flexural-Torsional Buckling

횡굽힘과 비틀림이 결합된 더 복잡한 모드인 휨-비틀림 좌굴은 부재의 굽힘과 동시에 발생하는 비틀림을 모두 포함합니다. 이는 지지되지 않은 보에서 관찰되는 횡비틀림 좌굴과 유사하지만, 특히 압축 부재에 적용됩니다. 축방향 압축 하에서 발생하며, 특히 단면의 중심과 전단 중심이 일치하지 않을 때 발생합니다. 채널, 앵글, 그리고 일부 유형의 보와 같이 이중 대칭이 아닌 단면에 영향을 미칩니다. 이중 대칭 단면(예: 광폭 플랜지 단면)은 일반적으로 이러한 복합 모드보다 더 단순한 비틀림 또는 휨 좌굴을 경험합니다.

그림 3: 전역 좌굴 유형 [참조]

Local Buckling

국부 좌굴은 부재의 일부만 좌굴을 받아 하중 지지력을 상실하는 현상으로, 이는 해당 부재의 특정 부분이 가늘기 때문에 발생하는 경우가 많습니다. 국부 좌굴은 분포 하중과 집중 하중 모두에서 발생할 수 있습니다. 이 경우, 부재의 축은 변형되지 않지만 보의 단면이 좌굴되어 해당 부위의 하중 지지력이 크게 감소합니다. 이 경우 구조물의 전반적인 안정성은 손상되지 않을 수 있습니다.

그림 4: a) 전역 좌굴 b) 국부 좌굴 [참조]

Elastic Buckling

탄성 좌굴은 구조물이 다양한 유형의 하중 하에서 탄성(가역적)으로 변형될 때 발생합니다. 이 상태에서 하중이 제거되면 구조물은 원래 모양으로 돌아갑니다. 이러한 유형은 금속 구조물과 탄성 거동을 보이는 구조물에서 흔히 관찰됩니다. 임계 좌굴 하중을 결정하는 오일러 공식은 이 분야에서 가장 중요한 방정식 중 하나입니다.

Plastic Buckling

소성 좌굴은 구조물이 다양한 유형의 하중 하에서 소성(비가역적) 변형을 겪을 때 발생합니다. 이러한 유형의 좌굴에서는 구조물에 영구 변형이 발생하며, 하중이 제거되면 구조물은 원래 상태로 돌아가지 않습니다. 이러한 형태의 좌굴은 일반적으로 콘크리트 구조물이나 소성 영역에서 작동하는 구조물에서 관찰됩니다.

메모: 우리의 좌굴의 예는 다음과 같습니다. 버클링 튜토리얼 패키지. Abaqus 좌굴 해석을 단계별로 안내해 드립니다. 물론 이 블로그에서 다른 자료와 예시도 무료로 찾아보실 수 있습니다.

When Does Buckling Occur?

이 섹션에서는 먼저 부재 길이, 지지 조건, 단면 형상 등 좌굴 해석에 영향을 미치는 변수들을 살펴보겠습니다. 그런 다음, 임계 좌굴 하중의 개념과 오일러 공식을 이용한 임계 좌굴 하중의 계산 방법, 그리고 구조 안정성에 미치는 영향에 대해 논의하겠습니다.

부재가 높고 가늘수록 좌굴에 더 취약하다는 점에 유의해야 합니다. 기둥, 보-기둥, 타이 보, 가새 등 다양한 구조 부재는 좌굴에 취약합니다. 구조 엔지니어는 구조물이 잠재적 하중을 견딜 수 있도록 정확한 계산과 좌굴에 대한 적절한 설계를 수행해야 합니다.

Parameters Influencing Buckling Analysis

부재의 좌굴 저항성은 부재의 길이, 형상, 단면적, 강성, 지지 조건 등 다양한 요인에 따라 달라집니다. 이러한 영향을 고려하기 위해, 작용하는 압축력을 기준으로 임계 좌굴 하중을 계산할 수 있는 매개변수가 정의됩니다. 임계 좌굴 하중은 부재가 좌굴 없이 지지할 수 있는 최대 하중입니다.

• 유효 길이 계수

이 매개변수는 본질적으로 좌굴 위험이 높은 부재의 길이를 반영합니다. 길이가 길어질수록 좌굴 가능성도 높아집니다. 일반적으로 K로 표시되는 유효 길이 계수는 부재 양단의 지지 조건에 따라 달라집니다. 이상적인 경계 조건(예: 완전 강성 지지점)을 달성하는 것은 현실적으로 불가능한 경우가 많습니다. 따라서 설계 시 유효 길이 계수를 이론값보다 높게 설정하는 경우가 있습니다.

그림 5: 유효 길이 계수 k의 대략적인 값 [참조]

• 유효 길이

유효 길이는 𝐾와 지지점 사이의 자유 경간(𝐿)의 곱으로 정의됩니다. 이 길이는 양쪽 끝에 핀으로 고정된 지지점을 사용하여 시공했을 때의 부재 길이와 동일합니다.

• 회전 반경

회전 반경의 개념과 구조물의 안정성에 미치는 영향을 더 잘 이해하기 위해, 보다 구체적인 예를 들어 설명해보겠습니다.

회전하는 팽이를 상상해보세요.

회전 속도가 빠를수록 안정성이 높아지고 넘어질 가능성도 줄어듭니다. 이러한 안정성의 주요 이유 중 하나는 팽이의 질량이 어떻게 분포되어 있는지에 있습니다.

윗부분이 무겁고 아랫부분에 더 많은 질량이 집중되어 있으면 더 안정적입니다. 질량이 접촉면에 더 가까워서 기울어짐에 더 강하기 때문입니다.

윗면의 바닥이 넓을수록 안정성도 높아집니다. 즉, 윗면을 기울이는 데 더 많은 힘이 필요하고, 무게 중심이 균형과 회전을 유지하는 위치에 있게 됩니다.

이제 이 개념을 기둥이나 보와 같은 공학 구조물에 적용해 보겠습니다. 기둥은 압축력을 받고 있으며, 갑작스러운 압력으로 인해 좌굴(안정성을 잃고 빠르게 변형됨)될 수 있습니다.

회전 반경은 기둥의 "기본"으로 볼 수 있습니다.

회전 반경이 클수록 기둥의 단면적이 중심에서 더 멀리 떨어진 곳에 더 많은 재료가 분포되도록 설계되었음을 나타냅니다. 바닥이 더 넓은 윗면처럼, 기둥은 횡력과 좌굴에 더 잘 견딥니다.

예를 들어, 기둥의 단면이 더 넓거나 단면 분포가 더 잘 되어 있으면 더 안정적이고 갑작스러운 변형에 더 효과적으로 저항합니다. 바닥이 더 넓은 윗부분이 더 안정적이고 전복될 가능성이 적은 것처럼, 회전 반경이 더 큰 기둥이나 보는 좌굴 발생 가능성이 더 낮습니다.

결국, 회전 반경은 구조물의 재료가 좌굴에 저항하기 위해 어떻게 분포되는지를 나타냅니다. 회전 반경이 클수록 재료가 더 효율적으로 사용되어 불안정화하는 힘을 더 잘 견딜 수 있는 구조물이 됩니다.

사실, 회전 반경이 클수록 기둥은 더 안정적입니다. 이는 바닥이 넓은 꼭대기와 마찬가지로 기울어지거나 갑작스럽게 변형될 가능성이 적기 때문입니다.

회전 반경이 단면의 두 주요 축을 중심으로 같지 않으면 단면은 회전 반경이 더 작은 약한 축을 중심으로 좌굴되는 경향이 있습니다.

x축에 대한 회전 반경은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

관성 모멘트는 특정 축을 중심으로 한 회전 운동에 대한 물체의 저항을 측정하는 척도입니다. 관성 모멘트는 회전축에 대한 물체의 질량 분포에 따라 달라지며, 특히 회전계 해석에서 동역학 연구에 매우 중요합니다.

• 날씬함 비율

세장비는 부재의 유효 길이와 단면 회전 반경의 비율(KL/r)로 정의됩니다. 이 매개변수는 단면의 파괴 모드에 상당한 영향을 미칩니다. 세장비의 정의에 따라 단면은 세 가지 주요 유형으로 분류되며, 이는 축방향 하중을 받는 단면의 거동을 분석하는 데 도움이 됩니다. 이 세 가지 유형은 다음과 같습니다.

• 짧은(굵은) 단면: 이러한 단면은 세장비가 낮아 압축 응력을 받아도 좌굴이 발생하지 않고 파괴(항복)됩니다.
• 긴(세장형) 단면: 이러한 단면은 일반적으로 항복 강도에 도달하기 전에 좌굴로 인해 파괴됩니다. 이러한 단면의 거동은 탄성계수 E의 영향을 받습니다.
• 중간 단면: 짧은 범주와 긴 범주 사이의 세장비를 갖는 단면은 좌굴과 압축 응력이 결합된 파괴 모드를 나타냅니다.

Critical Buckling Load

라디오 타워 건설에 사용할 알루미늄 파이프가 있다고 가정해 보겠습니다. 이 파이프는 수직으로 설치되고, 위에서부터 장비의 무게나 풍력과 같은 압축 하중이 가해집니다. 처음에는 작은 하중이 파이프에 가해지면 선형 압축을 받아 수축합니다. 그러나 하중이 점차 증가함에 따라 파이프가 갑자기 측면으로 변형되어 휘어지는 순간이 옵니다. 바로 이 순간이 파이프가 더 이상 추가 하중을 견딜 수 없게 되는 순간입니다. 이러한 불안정성과 급격한 변형을 초래하는 하중을 임계 좌굴 하중이라고 합니다.

보시다시피, 좌굴은 다양한 유형의 구조물에서 발생할 수 있지만, 가장 잘 알려지고 흔한 예는 기둥의 임계 좌굴 하중입니다. 다음 섹션에서 이 주제에 대해 자세히 살펴보겠습니다.

Buckling of Columns | Column Buckling

기둥은 거의 모든 구조물의 주요 하중 지지 요소이기 때문에 유형 구조 건물 압축력을 직접 받는 기둥의 경우, 기둥 좌굴 가능성을 철저히 평가해야 합니다. 좌굴은 콘크리트 기둥과 철골 기둥 모두에서 발생할 수 있습니다. 콘크리트 기둥의 경우, 종방향 철근이 제대로 고정되지 않으면 좌굴이 발생하여 기둥의 강도와 연성이 저하될 수 있습니다. 이러한 위험을 완화하려면 모든 종방향 철근이 제대로 지지되도록 지정된 간격으로 타이를 정확하게 배치하여 좌굴 가능성을 최소화해야 합니다.

콘크리트 기둥의 좌굴 발생 확률은 단면적이 커지고 내진 성능이 향상될수록 감소합니다. 그러나 콘크리트 품질이 좋지 않으면 지진 발생 시 철근 주변의 콘크리트 박리가 발생하여 중력 하중을 지지하는 철근의 역할이 감소할 수 있습니다. 이러한 경우, 중력 하중은 주로 종방향 철근에 의해 지지되며, 철근의 세장성으로 인해 기둥 전체에 걸쳐 좌굴이 발생할 수 있습니다.

그림 6: 기둥의 좌굴 [참조]

기둥의 좌굴로 인한 임계 하중을 계산하려면 다음과 같이 오일러 공식(좌굴 오일러)을 사용할 수 있습니다.

그림 7: 오일러의 좌굴

지지대 사이에 놓인 기둥의 길이로 원래 길이보다 짧은 경우도 있는데 이를 L의 유효 길이라고 한다._이자형.

다음에서는 좌굴 방정식의 일반적인 풀이 방법, 유한 요소 소프트웨어에서의 사용법, 그리고 다양한 구조물의 좌굴 하중을 처리하기 위한 소프트웨어의 다양한 풀이 기법과 기능에 대해 살펴본다.

기둥과 보, 그리고 그것들이 어떻게 좌굴되는지에 대해 지금까지 이야기해 왔습니다. 그런데 도대체 이 구조물들은 무엇일까요? 두 구조물의 차이점은 무엇일까요? 분석 과정에서 좌굴만 문제일까요? 이 모든 질문에 대한 답은 "“콘크리트 기둥 분석 + 빔 설명: 설계, FEA” 블로그.

How to do Abaqus Buckling Analysis?

좌굴은 하중을 받는 구조물이 불안정해져 갑작스럽고 잠재적으로 치명적인 변형을 초래할 때 발생하는 중요한 파괴 모드입니다. 구조물의 좌굴 거동을 예측하는 것은 안전을 보장하고 설계를 최적화하는 데 필수적입니다.

Abaqus는 선형 좌굴 해석(고유치 좌굴이라고도 함)과 비선형 좌굴 해석이라는 두 가지 접근 방식을 사용하여 좌굴 해석을 수행하는 강력한 도구를 제공합니다. 각 방법은 특정 목적에 맞춰 설계되며 다양한 유형의 구조 거동에 적합합니다. 단, 비선형 Abaqus 좌굴 해석을 수행하려면 먼저 선형 해석을 수행해야 합니다.

다음 섹션에서는 이 두 가지 접근 방식을 자세히 살펴보고, 각 접근 방식의 원리, 응용 프로그램, 그리고 Abaqus에서 단계별로 이를 수행하는 방법에 중점을 두겠습니다.

Why Perform Both Linear and Nonlinear Buckling Analysis?

선형 좌굴 해석은 완벽한 기하 구조와 선형 탄성 거동을 가정하여 임계 하중을 빠르고 보수적으로 추정합니다. 따라서 초기 설계 및 안전 점검에 이상적입니다. 그러나 실제 구조물은 완벽한 경우가 드물고 붕괴 전에 비선형 거동을 보이는 경우가 많습니다.

하중을 받는 구조물의 실제 거동을 파악하기 위해서는 비선형 좌굴 해석이 필수적입니다. 비선형 좌굴 해석은 기하학적 결함, 재료 항복, 그리고 좌굴 후 안정성을 고려하여 구조물의 붕괴 하중을 현실적으로 평가합니다.

두 가지 접근 방식을 모두 사용하면 계산 효율성과 실제 정확도의 균형을 유지하면서 안전하고 견고한 설계가 보장됩니다.

Abaqus Linear Buckling

이 가이드는 Abaqus의 "버클(Buckle)" 단계를 사용하여 임계 하중을 추정하는 선형 접근법에 중점을 둡니다. 이를 "고유치 좌굴 해석"이라고도 합니다. 이 해석에서 Abaqus는 구조물이 선형 탄성 거동한다고 가정합니다. 즉, 해석은 재료의 선형 강성만 고려하며, 비선형 또는 비탄성 재료 거동(예: 소성, 크리프, 점탄성)은 무시합니다. 따라서 여기서 가장 먼저 배운 것은 고유치 좌굴(선형 좌굴)의 경우 재료 특성에 대한 영률과 푸아송 비만 정의하면 된다는 것입니다.

탄성 거동 가정:

• 선형 좌굴은 구조물이 좌굴 지점까지 선형 탄성 거동한다고 가정합니다. 즉, 재료는 항복이나 영구 변형 없이 후크의 법칙(응력은 변형률에 비례함)을 따릅니다.
• 결과적으로 분석은 불안정성이 처음 발생하는 지점에만 초점을 맞추고, 그 이후에 무슨 일이 일어나는지는 고려하지 않습니다.

임계값으로서의 임계 부하:

• 선형 해석을 통해 예측된 임계 좌굴 하중은 구조물의 강성 행렬이 특이점(안정성을 잃음)이 되는 지점을 나타냅니다.
• 이는 구조가 예측된 좌굴 모드 형상으로 변형되기 시작하는 이론적 임계값입니다.

좌굴 전:

• 선형 해석은 좌굴 후 효과나 불완전성을 고려하지 않으므로, 좌굴이 시작되는 하중의 상한이나 근사치만 제공합니다.

What are Eigenvalue, Eigensolver and Mode Shape of Buckling?

고유값은 좌굴 해석에서 적용되는 하중 패턴에 대한 임계 승수를 나타내는 특수한 숫자입니다. 가장 작은 고유값은 구조물이 좌굴될 것으로 예상되는 임계 하중에 해당합니다.

고유값과 고유벡터(모드 형상)를 계산하는 데 사용되는 수치 알고리즘입니다. Abaqus는 두 가지 고유값 솔버를 제공합니다.

• 부분 공간 반복 방법: 고유값이 적게 필요한 모델에 효율적입니다.
• 란초스 방법: 자유도가 높은 대규모 시스템에 더 빠릅니다.

좌굴 모드 형상은 구조물이 불안정 지점에서 취하는 형상을 나타냅니다. 각 고유값에는 구조물이 좌굴할 때 어떻게 변형되는지를 보여주는 해당 모드 형상이 있습니다. 모드 형상은 절대적인 것이 아니라 상대적인 것입니다. Abaqus에서는 최대 변위 성분이 1.0이 되도록 정규화됩니다. 모드 형상은 크기가 아닌 패턴을 나타냅니다.

메모: 음의 고유값은 하중 방향이 반대일 경우 구조물이 좌굴될 수 있음을 나타냅니다. 예를 들어, 전단 하중을 받는 판은 정전단과 부전단 모두 동일한 좌굴 하중을 가질 수 있습니다.

간략하게 설명하면 다음과 같습니다.

고유치 좌굴 해석은 다음 방정식을 풉니다.

• 기본 강성(​): 초기 상태에서 구조물의 강성 행렬입니다.
• 고유값(): 이는 해석 대상인 고유값(하중 승수)입니다. 각 고유값은 임계 좌굴 상태에 도달하기 위해 활하중 Q에 곱해야 하는 계수를 나타냅니다.
• 증분 강성(): 이것은 좌굴 단계에서 적용되는 활하중 패턴(Q)에서 발생하는 증분 강성 행렬입니다.
• 모드 모양 또는 고유 벡터(): 이는 좌굴 모드 형상에 대응하는 고유 벡터입니다. 이는 주어진 임계 하중에서 구조물이 어떻게 변형(형상)되는지를 보여줍니다.
• 증분 하중 패턴 또는 Abaqus에서 정의한 패턴(Q): Q는 좌굴 단계에서 적용되는 하중 패턴입니다. 하중이 적용되는 위치와 방법을 나타내지만, 절대 크기는 나타내지 않습니다. 예를 들어, 기둥에 작용하는 분포 압력이나 캔틸레버 보 끝부분의 점하중일 수 있습니다.

How Abaqus operates and solve the linear buckling?

1. 기본 상태 설정(​):

• 만약 있다면 예압 (예: 중력 하중 또는 열 응력) 먼저 정적 해석 단계를 수행합니다. 이를 통해 기본 강성 행렬을 정의합니다. .
• 예압이 존재하지 않으면, 변형되지 않은 구조의 강성에 해당합니다.

2. 증분 부하 패턴(Q)을 정의합니다.

• "버클" 단계에서 다음을 정의합니다. 무늬 활하중 Q의.
• 예: 쉘에 단위 분포 압력을 가하거나 기둥에 점하중을 가합니다. 이는 Q로 사용됩니다.

3. 고유값에 대한 풀이 ():

• Abaqus는 사용자가 선택한 고유값 솔버를 사용하여 고유값 집합을 계산합니다.) 및 해당 고유 벡터().
• 일반적으로 가장 작은 고유값에 초점을 맞춥니다.​), 이는 첫 번째 좌굴 모드를 나타냅니다.

4. 결과 해석:

• 다음을 사용하여 임계 좌굴 하중을 계산합니다.

• 모드 모양을 시각화합니다() Abaqus 시각화 모듈을 사용하여 구조가 어떻게 변형되는지 이해합니다.

초급 패키지의 한 레슨에서 오일러 빔에 대해 설명했습니다. 오일러 빔을 분석하고, 좌굴하중은 해당 미분방정식을 풀어서 결정됩니다. 아마도 이 수업 당신이 이해하는 데 도움이 될 것입니다 좌굴 해석의 수학적 원리. 

Step by step example for Linear Abaqus Buckling

이제 Abaqus에서 함께 문제를 풀어보면서 선형 Abaqus 좌굴을 실제로 확인해 보겠습니다. 아시다시피 Abaqus에서 문제를 풀려면 Part부터 Visualization까지 Abaqus의 거의 모든 모듈을 사용해야 하며, 선형 좌굴도 예외는 아닙니다.

1. 지오메트리 생성(부품 모듈)

 먼저, 아래와 같은 치수의 직사각형 쉘 기둥을 만들고 최대 45cm까지 밀어냅니다.

메모: 이 시뮬레이션에 사용된 모든 단위는 SI(미터법) 단위입니다.

그림 8: 쉘 컬럼의 치수

2. 재료 특성

앞서 말했듯이 Abaqus 선형 좌굴 해석의 경우 탄성계수와 포아송비만 필요합니다. 따라서 각각 69GPa와 0.3을 입력합니다.

껍질의 두께는 2밀리미터입니다.

3. 단계

부품이 하나뿐이므로 Assembly 모듈에서 부품의 인스턴스를 생성하고 Step 모듈로 이동합니다.

"단계 생성" 편집 창에서 "선형 섭동" 카테고리(그림 9)로 이동하여 "버클" 단계를 선택합니다. 그런 다음 고유값 해석기를 선택하고 고유값 개수를 결정해야 합니다.

기본적으로 "부분 공간" 고유값 해석기가 선택되어 있으며, 3가지 모드 형상을 확인하고자 합니다(그림 10). 만약의 경우를 대비하여 최대 반복 횟수를 3000회로 늘립니다.

그림 9: 버클 스텝 선택

그림 10: 고유값 솔버 및 고유값 개수 결정

4. 경계 조건 및 하중

이 부분에서는 먼저 참조점을 만들고 그림 11에 따라 기둥의 모서리에 Tie 제약 조건을 적용합니다.

그림 11: 경계 조건 및 하중에 대한 참조점

다음으로, 기둥의 바닥(U1 = U2 = U3 = 0)과 기준점(U1 = U2 = U3 = UR1 = UR2 = UR3 = 0)의 모든 방향(U3를 제외한)을 고정합니다. 그런 다음, 기준점에 -U3 방향으로 집중력을 가합니다.

5. 문제 메싱 및 실행

마지막으로 모델을 메시화하고(그림 12) Job 모듈에서 해당 모델에 대한 작업을 생성하고 분석을 실행합니다.

그림 12: 모델 메시화

6. 결과 및 시각화 모듈

작업이 완료되면 시각화 모듈로 이동하여 결과를 확인하세요. 아래 그림에서 이 셸 열의 3개 고유값과 3개 모드 형상을 확인할 수 있습니다.

그림 13: 첫 번째 고유값 및 모드 모양

그림 14: 두 번째 고유값 및 모드 모양

그림 15: 세 번째 고유값 및 모드 모양

이 예제의 전체 튜토리얼은 다음에서 볼 수 있습니다. Abaqus에서의 좌굴 튜토리얼의 세 번째 워크숍.

Nonlinear Abaqus Buckling

앞서 언급했듯이, 실제 상황에서 구조물의 거동을 파악하기 위해서는 기하학적 결함, 재료 항복, 좌굴 후 안정성 등을 파악하기 위한 비선형 좌굴 해석이 필요합니다. 여기에 아래의 과제들도 추가됩니다.

현실 세계에서 구조물이 휘어지면 다음과 같은 대응이 종종 나타납니다.

불안정한 행동:

일반적인 정적 해석에서는 하중이 주요 변수입니다. 특정 하중 크기를 적용하면 솔버가 결과 변위를 계산합니다. 그러나 스냅스루 좌굴이나 붕괴와 같은 비선형 문제에서는 다음과 같습니다.

• 하중-변위 관계는 선형적이지 않습니다.
• 구조는 불안정점에 도달할 수 있으며, 하중이 증가하면 큰 변위가 발생하거나 하중이 감소(음의 강성)할 수도 있습니다.

기존 솔버는 미리 정의된 하중 진행에 의존하기 때문에 이러한 문제가 발생합니다. 하중이 감소하거나 응답이 불안정해지면 솔버가 올바른 솔루션 경로를 따라갈 수 없습니다.

불완전성 민감도:

실제 구조물은 완벽하지 않습니다. 기하학적 구조의 작은 결함도 좌굴이 발생하는 하중에 큰 영향을 미칠 수 있습니다.

좌굴 후 행동:

좌굴 후 구조물의 반응은 안정화(더 많은 하중을 지탱)되거나 불안정화(붕괴)될 수 있습니다.

이러한 거동은 선형 좌굴 해석으로는 포착할 수 없으므로 Riks 방법과 같은 비선형 기법이 필요합니다.

평형 경로와 분석이 완료되는 위치

비선형 문제에서 하중-변위 곡선은 다음과 같은 영역을 가질 수 있습니다.

• 하중이 감소합니다(스냅스루 또는 스냅백 동작).
• 하중이나 변위 증가에만 의존하는 경우 솔버가 따라야 할 명확한 방향이 없습니다.

기존의 해결사들은 불안정한 지역에서 이러한 평형 경로를 따라가는 데 어려움을 겪었습니다.

이러한 거동과 과제는 선형 좌굴 해석으로는 포착할 수 없으므로 Riks 방법과 같은 비선형 기법이 필요합니다.

How the Riks method overcome Nonlinear buckling challenges?

불안정한 행동:

이 방법은 모든 하중이 비례적으로 조정된다고 가정합니다. 예를 들어, 균일한 압력과 점 힘을 가하면 두 하중 모두 단일 조정 계수에 따라 함께 증가합니다. Riks 방법은 하중 비례 계수(𝜆)를 미지 변수로 취급하여 이 문제를 해결합니다. 이는 다음을 의미합니다.

Riks 방법은 하중 크기를 직접 지정하는 대신, 𝜆를 사용하여 적용된 하중을 비례적으로 조정합니다. 솔버는 변위와 함께 𝜆를 해석 과정의 일부로 결정합니다.

분석 중 임의의 지점에서의 총 부하는 다음과 같이 주어집니다.

어디 는 사하중(Riks 단계 전에 적용된 초기 하중)입니다.,  는 참조 하중(Riks 단계에 적용된 하중 패턴)입니다.,  는 총 하중 벡터이고, 𝜆는 하중 비례 계수입니다. Riks 방법은 𝜆와 변위를 동시에 계산하므로 하중이 감소하는 영역에서도 하중-변위 응답을 추적할 수 있습니다.

평형 경로와 분석이 완료되는 위치

Riks 방법은 하중 또는 변위 축을 따라 직접 이동하는 대신, 호 길이(𝑙)를 사용하여 곡선을 따라 이동합니다. 이를 통해 솔버가 불안정한 영역을 탐색하여 응답의 어떤 부분도 놓치지 않도록 할 수 있습니다.

호 길이는 하중-변위 곡선을 따라 이동하는 기하학적 거리입니다. 곡선을 경로로 생각하면, 하중이나 변위가 증가하든 감소하든 호 길이는 해당 경로를 따라 이동한 거리를 측정합니다.

다음은 이러한 개념을 이해하는 데 도움이 되는 예입니다.
문제 해결을 구불구불하고 언덕이 많은 산길을 헤쳐 나가는 것으로 생각해 보세요.

• 부하 비례 계수(𝜆): 기울기를 결정하고 균형을 유지하고 계속 진행할 수 있도록 속도(얼마나 많은 노력/부하를 적용할지)를 조정합니다.
• 호 길이(𝑙): 트레일을 따라 이동한 거리를 추적하여 의도한 경로를 따라가고 있는지, 코스를 벗어나거나 갇히지 않는지 확인합니다.
• 해결책의 끝: 트레일의 끝(종료 기준)에 도달했을 때 발생합니다. 정상, 계곡 또는 특정 경로 지점이든 상관없습니다.

이 절차에 대한 자세한 내용은 이 블로그의 범위를 벗어나지만, 더 많은 정보가 필요하다면 Abaqus 설명서에서 읽어보실 수 있습니다.

Abaqus 좌굴 튜토리얼에서는 Abaqus에서 비선형 좌굴을 수행하는 방법을 보여주는 몇 가지 예를 소개합니다. 워크숍 1, 3, 5.

Step by step example for Nonlinear Buckling in Abaqus

이제 연습할 시간입니다. 선형 좌굴을 수행했던 쉘 기둥에 대해 비선형 좌굴을 수행해 보겠습니다.

모델링은 동일하지만, 선형 좌굴 해석을 실행하기 전에 입력 파일에 명령을 추가해야 합니다. 이 명령은 모델의 노드 파일을 저장하며, 이 파일은 불완전성을 입력할 때 비선형 좌굴 해석에 사용됩니다(아래 그림 참조).

그림 16: Buckle 단계에서 노드 파일 명령 가져오기

비선형 좌굴의 경우, 모델을 만드는 데 모든 단계를 반복할 필요가 없습니다. 현재 모델의 복사본을 만들고 다음 내용에 따라 몇 가지 변경만 하면 됩니다.

비선형 좌굴 해석을 수행하기 위해 새 모델에 필요한 변경 사항은 Step 및 Load 모듈의 조정에 국한됩니다. 또한, 비선형 좌굴 해석 수행에 필수적인 결함을 포함하기 위해 모델 입력 파일의 수정이 필요합니다.

단계 모듈:

Step 모듈로 이동하여 Step 유형을 "Static, Riks"(그림 17)로 변경합니다. 비선형 옵션을 활성화하고 다른 설정은 기본값으로 유지합니다.

그림 17: 정적, Riks 단계 선택

로드 모듈:

하중 모듈에서 해석 유형 변경으로 인해 하중 조건이 제거되었는지 확인하세요. 제거된 경우 모델에 하중을 다시 적용하세요. 다음으로, 모델에 결함을 추가할 차례입니다.

불완전성을 추가하고 분석을 실행합니다.

이렇게 하려면 모델의 입력 명령 파일을 열고 필요한 명령을 입력하세요(그림 18 참조). 명령의 파일 이름은 선형 좌굴 해석의 작업 이름을 나타내고, 단계는 명령을 적용할 해석 단계를 지정합니다. 다음 세 줄에서는 결함의 크기를 정의합니다. 선형 해석 중에 노드 파일 명령(그림 16)을 사용하지 않으면 실행 시 오류가 발생합니다.

일반적으로, 크기는 불완전함 껍질 두께의 약 1/10 정도입니다.

그림 18: 입력 파일에 Imperfection 명령 추가

이제 모든 준비가 끝났으니 분석을 실행하고 결과를 확인하기만 하면 됩니다.

그림 19에서 기둥이 좌굴하는 시점을 확인할 수 있으며, LPF(Load Proportionally Factor) 다이어그램(그림 20)에 따르면 임계 좌굴 하중은 약 73.6 KN입니다. 그림 13(선형 좌굴의 첫 번째 고유값)을 다시 살펴보면, 선형 좌굴의 추정 좌굴 하중은 80.8 KN이지만, 비선형 좌굴의 임계 좌굴 하중은 73.6 KN임을 알 수 있습니다.

결과는 메시 수렴, 그리고 무엇보다도 입력하는 불완전성에 따라 달라집니다. 이는 더 정확한 결과를 얻기 위한 예시일 뿐이며, 메시 수렴을 수행하고 실험 데이터나 다른 방법을 통해 불완전성 데이터를 얻어야 합니다.

그림 19: 좌굴 단계

그림 20: LPF 다이어그램

그림 21에서는 모델의 좌굴 후 거동을 볼 수 있습니다.

그림 21: 좌굴 후 거동

우리는 튜토리얼 비디오를 가지고 있습니다 프레임의 좌굴 후 거동 이 초보자 패키지의 수업에서는.

What is Load Proportionally Factor (LPF) diagram?

하중 비례 계수(LPF)는 Riks 방법의 핵심 결과로, 해석 중 기준 하중이 얼마나 확장되는지를 나타냅니다. 이는 구조물이 변형됨에 따라 작용 하중이 어떻게 진행되는지를 직접적으로 측정합니다. LPF는 변위 데이터와 결합될 때 하중-변위 곡선을 형성하는데, 이는 좌굴 거동의 두 가지 중요한 측면, 즉 임계 좌굴 하중(곡선의 정점)과 좌굴 후 거동(구조물이 정점 이후 안정화 또는 붕괴되는 방식)을 이해하는 데 필수적입니다.

LPF 다이어그램은 구조물의 하중-변위 곡선으로, 변위 증가에 따라 구조물의 하중 용량이 어떻게 변화하는지 보여줍니다. 가로축은 구조물의 임계점(예: 기둥 상단 또는 판 중앙)에서의 변위를 나타내며, 구조물의 변형 정도를 나타냅니다. 세로축은 기준 하중을 나타내는 LPF(𝜆)를 나타냅니다. LPF에 기준 하중을 곱하면 해석의 모든 단계에서 총 하중을 계산할 수 있습니다.

이 다이어그램에는 몇 가지 주요 특징이 있습니다.

• 정점은 구조물이 처음 불안정해지는 임계 좌굴 하중을 나타냅니다.
• 하강하는 가지는 좌굴 후 거동을 보이는데, 이는 구조가 안정화(고원)되는지 아니면 붕괴(추가 하강)되는지를 나타냅니다.
• 정점에 도달하기 전에는 구조가 안정되어 증가하는 하중을 견딜 수 있지만, 정점을 지나면 강성이 감소하고 불안정해집니다.

Abaqus에서 결과를 해석하려면 출력에서 LPF 값을 직접 추출하고 하중-변위 곡선(그림 20)을 사용할 수 있습니다. 최대 LPF는 임계 좌굴 하중을 나타내며, 다음과 같이 계산됩니다.

어디 는 기준 하중(하중 모듈에 입력하는 하중)입니다. 이 곡선은 좌굴 후 구조물의 거동을 평가하는 데에도 도움이 되며, 구조물의 안전성과 안정성에 대한 통찰력을 제공합니다.

결론

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